Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 73

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 162 >> Следующая

• • к координатам h)\ тогда вследствие непрерывности функций (25.13.1)
последовательность ... сходится
к W(h) в G. Аналогично образ кривой в G при гомоморфизме представляет
собой кривую в G.
Замечание 3. Свойство Y быть непрерывным отображением инвариантно
относительно добавления или вычеркивания согласованных карт в одном или в
обоих многообразиях G и G, потому что если х' и у' суть координаты в
любых двух картах, то схема
х'х -> у у'
показывает, что координата у' непрерывно зависит от х', если только она
определена при помощи композиции трех указанных отображений.
Замечание 4. Если Y является взаимно однозначным отображением G на 5 и,
кроме того, 'К-1 непрерывно, то 'Р представляет собой изоморфизм групп
Ли.
Теорема 1. ПустьЧ-гомоморфизм группы Лий (т. е. непрерывный гомоморфизм)
на G, и пусть Л и Л-алгебры Ли групп G и G. Тогда отображение Чг, будут
выражено через логарифмические координаты, является локальным
гомоморфизмом алгебры Ли Л на Л.
Замечание, Как очевидное следствие получается, что в силу линейности
отображения Чг в этих координатах любой гомоморфизм группы Ли локально
является аналитическим отображением; оно аналитично также и глобально,
потому что если g = g0h для произвольного g", то элемент Y (g) = Y (g0) Y
(h) = Y (g0) ^(go^g) ана-литичен в g для h из некоторой окрестности
единицы в силу аналитичности произведений и обратных элементов в каждой
из рассматриваемых групп.
Доказательство теоремы 1. дЛя любого элемента X, достаточно близкого к
началу координат в Л, мы можем определить элемент из Л посредством
координаты
Г"1п (Y (е?-)).
Нам нужно показать, что отображение X->- X линейно и переводит [X,, ц] в
(X,, ц]. Сначала мы покажем, что оно преобразует tX в tX для
вещественного t, т. е. Tb, = tX. Для фиксированного X множество Y (еЩ, t?
R, есть
однопараметрическая подгруппа группы G, которая включает элемент е*-;
следовательно, для каждого t существует вещественное число s = /(/),
такое, что
4r(e<*-)=e,*, = ef(<)\
25.13. Гомоморфизмы группы Ли
179
где f (t) - непрерывная функция в силу непрерывности V, причем /(0)=0 и /
(1) = 1, Поскольку ? отображает произведения на произведения, мы имеем
gf Ц+S) К __ \JT (gU + S) __ gs)vj _
= ? {ел) W (es^)=e^^>i <s) л__е[/ (() + 7(s>j
Отсюда f (t-\-s)=f (i) + ! (s), но лишь непрерывные функции, обладающие
этим свойством, линейны. Учитывая, что /(0) = 0, / (1) = 1, мы
получаем
что_и требовалось показать. Теперь к обеим частям равенства
? (е^ ) = es>i применим формулу КБХ, что дает
sk + fyi + VaS* [Л,, fi]+ ... =sA, + + 1/2s^ [X, fl] + ... (25,13.2)
для всех s и t. Пусть s = es', t-ef. Учитывая, что ev = ev, можем
сократить обе части (25,13.2) на множитель е. Тогда при е-е0 квадратичные
и более высокого порядка члены обратятся в нуль; поэтому
s'к + /'|Ц = s' к + Z'fl,
а это устанавливает полную линейность отображения к -"¦ к. В силу этого
можно опустить линейные члены в обеих частях (25.13.2), и, рассуждая
аналогично предыдущему, мы увидим, что
[Д ц] = [Х, й,
т. е. что отображение к -*¦ к есть гомоморфизм алгебры Ли, а это и
требовалось доказать.
Эта теорема не имеет глобального обращения, а лишь локальное, и, чтобы
сформулировать это обращение, нам понадобится новое определение. Если U-
окрестность единицы группы Ли G, то аналитическое отображение ?
окрестности U в группу Ли G, такое, что ? (gh) = ? (g) ? (h), когда g, h
и _gh принадлежат U, называется локальным гомоморфизмом G в G. Если
обратное отображение также является локальным гомоморфизмом, т. е. оно
единственно и аналитично в некоторой окрестности единицы в G, то ? есть
локальный изоморфизм. Если, кроме того, G = G, то ?-локальный автоморфизм
G.
Теперь мы можем сформулировать обращение теоремы 1.
Теорема 2. Если А и А-алгебры Ли групп Ли G и G, то любой гомоморфизм
алгебры Ли ф: А-*- А индуцирует локальный гомоморфизм ?: G-*-G,
задаваемый при помощи экспоненциального отображения, а именно ? (ек) =
е^>м для ек в достаточно малой окрестности единицы в G.
Доказательство. Использование формулы КБХ дает
? (е^е^1) = ^ ^e^+M + (i/2)[k, __еУ(^+ц + (1/2)[^, д]+...).
в силу того, что ф является гомоморфизмом алгебры Ли, последнее вырал^е-
ние равно
еФ(К) + ф(д; + (1/2)[ф(Ь), ф(Щ] +.. ^
180
Г л. 25. Г руппы Ли
а так как формула КБХ справедлива также и в G, то предыдущее выражение
равно е'КХ)е\р(м-), т е - > и теорема доказана.
Как следствие этой теоремы получаем, что если ф: Л-> Л является
изоморфизмом алгебры Ли, то Y есть локальный изоморфизм группы Ли; если,
кроме того, G = G и А = Л, то Y - локальный автоморфизм группы G
Следующая теорема сформулирует условия, при которых локальный гомоморфизм
может быть расширен до глобального. Этот вопрос возник в § 21.1, где было
показано, что в квантовой механике могут появиться локальные
представления групп, подобных SO(3) и 2р. Следует напомнить, что группы
SO(3)hS(7(2) только локально, но не глобально изоморфны и что группы 2 и
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed