Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 72

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 162 >> Следующая

отображением Л на себя (т. е. Л = Л), то мы имеем автоморфизм.
Линейное подпространство А алгебры Л называется подалгеброй, если |+, ц]€
А для всех X, Л; если, более того, |+, ц]? А
176
Гл. 25. Группы Ли
для всех Я ? А и для всех р ? А, то А есть идеал алгебры Д. Алгебра Ли А
размерности большей 1 называется простой в том случае, когда она не
содержит никаких других идеалов, кроме {0} и А. (Причина, по которой в
этом определении исключены одномерные алгебры, выяснится в § 25.16.)
Легко видеть, что ядро гомоморфизма ф, а именно множество (Я: ф(Я) = 0),
есть идеал в А. Следовательно, альтернативное определение состоит в том,
что алгебра Ли размерности большей 1 проста, если она не может быть
гомоморфно отображена на любую, менее сложную алгебру, кроме тривиальной
алгебры (0).
Идеалы играют почти ту же роль для алгебр Ли, какую играют нормальные
подгруппы для групп.
Если А0-подпространство А, то отношение Ян=р (modA0), определенное в том
смысле, что Я-р принадлежит А0, является отношением эквивалентности,
разбивающим А на непересекающиеся классы, называемые классами вычетов по
модулю А0. Если для любого фиксированного Я С Л обозначить через Я класс
вычетов {Я + р: р?Л0) и определить аЯ = аЯ и Я + р = Я-)-р, то множество
классов вычетов образует линейное векторное пространство, называемое
факторпространством алгебры Л по модулю Л0. Мы покажем, что если Л0-
идеал, то факторпространство можно интерпретировать как алгебру Ли.
Теорема 1. Пусть А0-подпространство алгебры Ли А. Для каждого выбора ^ и
Рх в А множество
{[Я, р]: Я-Я?СЛ0, р-рх€А0)
содержится в единственном классе вычетов {а именно в классе l>i. Mi])
тогда и только тогда, когда А0 есть идеал в А. В этом случае если
произведение Ли двух классов вычетов Ях и р, определить равенством [Ях,
рх] = [ЯХ, рх], то факторпространство алгебры А по модулю А0 является
алгеброй Ли, которая обозначается через А/А0 и называется факторалгеброй
алгебры А по модулю А0. Отображение Я->-Я есть гомоморфизм, называемый
естественным гомоморфизмом А на А/А0 и обозначаемый через фп.
Пояснение. Рассмотрение коммутативного случая, в котором любое
подпространство алгебры А является идеалом, а любое произведение Ли [Я,
р] равно нулю, показывает, что множество элементов [Я, р], о котором
говорится в формулировке теоремы, может быть лишь частью класса вычетов
[Ях, рх], который совпадает с А0.
Доказательство теоремы i. (1) Допустим, что Л0 - идеал. В общем случае
1Я, р]- 1ЯХ, Рх] = [Я- Ях, р] + [Ях, р-рх];
25.13. Гомоморфизмы группы Ли
177
следовательно, если X- Хх и ц-щ принадлежат Ло, то и оба члена из правой
части принадлежат Л0; поэтому [X, р] и [Xi, рх] находятся в одном и том
же классе вычетов, как и утверждалось. (2' Обратно, если для произвольных
X и (х [X, р+а] всегда содержится в том же классе вычетов, что и [X, р],
для любого а ? Л(,, то [X, а]?Л0, а отсюда следует, что Л0 - идеал. (3)
Определение произведения двух классов вычетов посредством формулы [Хх,
Х2] = = [Хх, Х2] показывает, что отображение X->• X есть гомоморфизм, а
тогда из пояснения, приведенного после определения гомоморфизма, следует,
что факторпространство является алгеброй Ли.
Теорема 2 (о гомоморфизмах). Если Л0-ядро гомоморфизма ф алгебры Л на
алгебру Л, то Л0 есть идеал в А (как уже отмечалось ) и Л/Л0 ^ Л.
Доказательство Обозначим через ф" естественный гомоморфизм Л на Л/Л". Из
равенства фл (Х)=ф" (Хх) следует принадлежность X и Хх одному классу
вычетов, т. е. X- Хх?Л0; отсюда ф(Х -Хх)=0 по определению Л0 как ядра
гомоморфизма ф и, значит, ф (Х) = ф (Хх). Поэтому фф^1 есть взаимно
однозначное отображение множества Л/Л0 классов вычетов на Л; обозначим
это отображение через %. Читателю предоставляется возможность завершить
доказательство, проверив, что % линейно и удовлетворяет уравнению х([^>
Ц])= =1хМ> Х(Р)]> гДе ^ и Р - произвольные классы вычетов в Л по модулю
Л0, т. е. произвольные элементы множества Л/Л0.
2S.13. ГОМОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ ли
В случае группы Ли гомоморфизм должен сохранять не только все
алгебраические отношения, но также все локальные топологические и
аналитические свойства, связанные со структурой многообразия.
Если G и G-группы Ли, то отображение ? группы G в группу G называется
гомоморфизмом групп Ли, если:
1) это гомоморфизм в теоретико-групповом смысле:
2) это непрерывное отображение; иначе говоря, если <р и <р-любые
координатные системы в G и G соответственно, то каждая компонента вектора
у = <р(?(<р-1 (х))) (25.13.1)
является непрерывной функцией компонент вектора х для всех х, для которых
данное выражение определено.
Замечание 1. В общем случае это отображение переводит много элементов в
один; в действительности G может Иметь большую размерность, чем G.
Замечание 2. Типичным отношением в G, которое сохраняется в G и не имеет
теоретико-группового характера, является сходимость последовательности
элементов gx, g2, ... к пределу h (что
178
Гл. 25. Группы Ли
означает сходимость в карте, содержащей h, координат элементов gi, g2i •
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed