Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
принадлежит W0. (Определение компоненты многообразия см. в § 23.6.)
Доказательство. Пусть G0- подгруппа G, порожденная множеством Wof! WV1,
где Wo1 - множество, состоящее из элементов, обратных к элементам
множества Множество Woo = W0П WiT1 открыто и содержит 1. Ясно, что G"
связна, поскольку каждый из множителей glt g2, ... в конечном
произведении g = gig2¦¦¦ можно по очереди перевести гладким образом в 1,
а затем удалить из этого произведения, так что как следствие элементу
будет связан с 1. Теперь будет показано, что множество G0 является
открытым и замкнутым одновременно. Поэтому, в согласии с § 23.6, это
множество представляет собой целую компоненту многообразия G. [Поскольку
WooClWo, можно также говорить, что G0 порождено множеством Wo-] Если g =
= gigi • • • 8k-любой элемент G0, то открытое множество gWoo. содержащее
g, состоит из элементов вида gig2 ¦ ¦ ¦ gkgk+i> причем gk+i также
принадлежит Woo; поэтому gWoo содержится в G0 и множество W0 открыто. С
другой стороны, если g'-любая предельная точка G0, то множество g'W00=
=g'Wm ={g'h~1: Л.^ Woo} является окрестностью элемента g' и, значит,
содержит элемент вида g1 ... gk; поэтому gi ¦. ¦ gk=g'h~* для некоторого
A?Woo'. следовательно, g' =gi ... gkh содержится в G0, т. е, G0 -
замкнутое мнвжество, что и требовалось доказать.
Замечания. Левая трансляция есть гомеоморфизм во всем многообразии G.
(Это отображение взаимно однозначно по теоретикогрупповым соображениям и
непрерывно, даже аналитично, по приведенной выше лемме.) Поэтому каждый
левый смежный класс aGo подгруппы G0 группы G есть компонента
многообразия G, и наоборот. Рассматривая правые трансляции, мы приходим к
выводу, что каждая компонента является также и правым смежным классом;
поэтому Go представляет собой нормальную подгруппу.
Количество компонент счетно, поскольку мы допустили, что многообразие
может быть покрыто счетной совокупностью карт. Рассматриваемая теория не
устанавливает никаких ограничений на природу факторгруппы, потому что
если G0 - связная группа Ли, а К - любая абстрактная счетная группа, то
прямое произведение G"XK можно рассматривать в качестве группы Ли G,
имеющей по одной компоненте на каждый элемент из /С, и тогда G/G0^K. По
этой причине факторгруппа G/G0 не представляет интереса, и многие авторы
при определении группы Ли включают требование связности. Мы предпочитаем
не исключать из рассмотрения группы, подобные 0(3).
25.12. ГОМОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ ЛИ
Теория гомоморфизмов алгебр Ли и групп Ли, изложенная в этом и в двух
следующих параграфах, весьма сходна с теорией гомоморфизмов для групп,
изложенной в § 18.5-18.8.
25.12. Гомоморфизмы алгебры Ли
175
Грубо говоря, гомоморфизм есть отображение (в общем случае переводящее
много элементов в один) некоторой математической структуры на менее
сложную структуру того же вида, такое, что любое соотношение,
справедливое для элементов первой структуры, также справедливо и для
образов этих элементов во второй структуре. Некоторые из этих
соотношений, вообще говоря, становятся тривиальными во второй структуре
(например, 1 о 1 = 1 или 0+0=0), в то время как остающиеся соотношения
можно рассматривать как проявление некоторых основных свойств первой
структуры без учета тонких деталей. Точно так же, как для групп, такое
отображение существует в том и только том случае, когда первая структура
содержит некоторый особый вид подструктуры (например, нормальную
подгруппу), которая может служить ядром этого отображения; теория
показывает, как при заданной подструктуре воссоздать рассматриваемое
отображение, сначала образовав так называемое частное или факторструктуру
(например, факторгруппу), затем построив так называемый естественный
гомоморфизм первой структуры на факторструктуру и, наконец, установив
эквивалентность этого гомоморфизма первоначальному гомоморфизму.
Эта программа действий применима непосредственно и к алгебрам Ли. Любая
идея, имеющая отношение к группам Ли, находит параллель в соответствующих
алгебрах Ли, и эта взаимосвязь между группами и их алгебрами обеспечивает
мощные методы исследования этих групп.
Если Л и Л-вещественные алгебры Ли, то гомоморфизмом А-*Л является
отображение ф алгебры Л в алгебру Л, которое сохраняет все операции
алгебры Ли; иначе говоря, если i и fi принадлежат Л, а а ? R и b ? R, то
ф(аА, + Ьц) = аф (А,) + Ьф (ц) и ф([+ |а]) = [ф(^), ф(ц)]. Это
определение (с заменой R на С) имеет место и в случае комплексной алгебры
Ли.
Пояснение. На самом деле нет необходимости заранее допускать, что Л
представляет собой алгебру Ли; обязательно лишь, чтобы Л была структурой,
в которой определены операции 7. + jx, аХ и |+, ц]. Однако та часть
структуры Л, на которую отображается Л при помощи указанного
гомоморфизма, т. е. образ ф(Л), с необходимостью должна быть алгеброй Ли.
Если отображение ф взаимно однозначно и является отображением на всю Л,
то оно есть изоморфизм (символически Лз^Л); если к тому же оно является
