Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
ф (ух) = ф (г/2). Для доказательства взаимной однозначности отображения Ф
мы должны показать, что из ф("/,) = ф(г/2> следует Syi = Sy2. Далее
следует показать, что Ф обладает свойством гомоморфизма, т. е.
Наконец, совершенно очевидно, что Ф является отображением факторгруппы на
весь образ ф(б), ибо любой элемент из ф(б) есть ф (у) для некоторого у из
G.
18.9. СТРУКТУРА ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП
Как было указано в § 18.6, группа, порядок которой есть простое число р,
не имеет никаких нетривиальных собственных подгрупп, следовательно, она
является обязательно циклической (а потому абелевой) и может быть
порождена любым из своих элементов (исключая единицу), поскольку, по
теореме Лагранжа, порядок любого элемента (т. е. порядок подгруппы,
порожденной этим элементом) должен быть или 1, или р. (Единственным эле-
(18.8.1)
\j/(G) *- G -* G/Gq
20
Гл. 18. Элементарная теория групп
ментом порядка 1 в группе является единица е, ибо из а1 = е, где /=1,
следует, что а - е.) Если G = {e, а, а2, ..., ап~г\ - циклическая группа
порядка п, а т-делитель п, то элементы е, ату а2т, . . . составляют
циклическую подгруппу порядка п/т и такие подгруппы являются
единственными подгруппами группы G. В бесконечной циклической группе
любой элемент, отличный от единицы, порождает бесконечную циклическую
подгруппу, причем такие подгруппы являются единственными нетривиальными
подгруппами; все они различны, но изоморфны.
18.10. ТРАНСЛЯЦИИ1). ВНУТРЕННИЕ АВТОМОРФИЗМЫ
Взяв произвольный элемент а группы G, обозначим через Т0 отображение
группы G на себя, заданное соответствием х->-ах (х? G); это отображение
называется левой трансляцией в группе G; отображение вида х-> ха для
фиксированного а называется правой трансляцией.
Упражнение
1. Покажите, что множество S' всех левых трансляций в О представляет
собой группу относительно обычного закона композиции отображений.
Покажите, что группа S' изоморфна О.
Примечание 1. Любсй гомоморфизм группы G (абстрактной или иной) на группу
отображений называется представлением группы G. Изоморфизм G оГ
называется регулярным представлением группы G. Если представление
является изоморфизмом (а не только гомоморфизмом), то оно называется
точным. Регулярное представление является точным.
Примечание 2. Если G-конечная группа, то отображение Та представляет
собой перестановку элементов группы G; следовательно, ?Г является
некоторой подгруппой группы S'п (см. конец § 18.4), где п - порядок
группы G, т. е. любая конечная группа изоморфна некоторой группе
перестановок (теорема Кэли).
Обозначим через Аа отображение группы G на себя, задаваемое соответствием
х-*аха~г, где х-любой элемент группы G, а а - фиксированный элемент
группы G.
Упражнение
2(a). Покажите, что множество 0 всех отображений Аа в О является группой
относительно обычного закона композиции отображений, (б). Найдите 3, если
G - Jl3. (в). Найдите 3, если 0 = ^4.
Примечание 3. В любом случае 3 представляет собой некоторую подгруппу
группы Se/2 = Sa для упражнения 2(6) и некоторую подгруппу группы для
упражнения 2 (в).
¦) Можно было бы использовать термин "сдвиги", но в физических
приложениях чаще встречается термин "трансляции".- Прим. перев.
18.11. Подгруппы группы 3* ь
21
Примечание 4. Выражение "найдите 5" означает, что нужно отождествить 3 с
группой, изоморфной некоторой известной группе.
Примечание 5. Каждое из отображений Аа есть автоморфизм, называемый
внутренним автоморфизмом группы G, ибо, во-первых, оно взаимно однозначно
и является отображением на всю группу, поскольку уравнение аха~у = у
всегда имеет единственное решение х (х = а~1уа)\ во-вторых, это
отображение обладает свойством гомоморфизма, т. е. произведения
отображаются в произведения, поскольку axwa~x = axa~1awa~1. Группа 3
называется группой внутренних автоморфизмов группы G.
Внутренние изоморфизмы группы 3'п обладают особым свойством. Пусть
элемент л принадлежит 3*п\ запишем л в виде произведения независимых
циклов, как в (18.4.2) [два цикла являются независимыми, если они не
содержат общих символов; (173) и (24) независимы, а (173) и (34) нет],
причем более длинные циклы записываются первыми, а также включаются циклы
длины 1. Тогда длины этих циклов составляют разбиение числа п, т е.
последовательность целых чисел, сумма которых равна п. Особое свойство, о
котором мы упомянули, заключается в том, что образ элемента л при
внутреннем автоморфизме группы З'п (л-<-ала-1, где а-некоторый заданный
элемент 3*п) всегда соответствует тому же разбиению числа п, что и сам л,
поскольку если (а, Ь, ..., /)-любой цикл, то о (а, Ь, ..., /)о-1 является
циклом (о (а), о(Ь), а(/)).
Если а их принадлежат группе G, то элемент аха~1 называется сопряженным с
х. Внутренний автоморфизм Аа: х-> аха~х (а фиксирован) отображает каждый
элемент группы л: на один из сопряженных с ним элементов. Если Gn -
подгруппа группы G, то множество
G" = {axa~1 i x?Gn\
есть тоже подгруппа, часто обозначаемая через aG0a-1 и называемая
