Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 68

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 162 >> Следующая

Так как g(s0, i0) = l> т0 разложения координат g и g-1 по счепеням s-s0 =
Si и t - t0 = tj начинаются с линейных членов [предполагается, что ф (1)
=0]:
dei
х* (s, t) = q>i(g(S) ")=Wsf + ^i+/l*sj + fl^1/1 + C^+.fe; (25.8.7)
отсюда
dei _ у1 (s, t) = <FJ (g (S, /)"*) =
+ a'jk (V Si + рУД) (**Si + ц**i) + ... , (25,8,8)
168
Г л. 25. Г руппы Ли
Поскольку a (s, i) есть касательный вектор к кривой, полученной из
g(s, t)~x g (s', t) путем вариации s' при заданных s и ( с последующим
приравниванием s' = s, то (выполнив аналогичную операцию и для р) мы
будем иметь
а'(s, () = дт' (у (s, t), х (s', t))jds' |s,=s,
P'(s, t) = dm'(y(s, t), x (s, t'))/dt'\u-f,
подставив в эти выражения разложения (25.8.7), (25.8.8) и взяв
соответствующие производные, мы получим
(dafldt-d^4bs)imSv ,=,0=^(a/p*-a*p/)s=Soi
а это и есть искомый результат в силу определения (25.3.3), (25,3.4)
произведения Ли.
2S.9. ЛЕММА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ЭКСПОНЕНТ
Лемма. Если X = X(t)-гладкая кривая в А, а X' или X' (t) означает dX/dt
(которая также является кривой в А), то
e~xdeKidt=f{АсД) Г, (25.9.1)
где
f(z) - (\ -e~z)/z- 1 -(1/2!) 2 +(1/3!) г2-... . (25.9.2)
Пояснение 1. В левой части равенства (25.9.1) dex/dt представляет собой
касательный вектор в точке ех группы G; умножение этого вектора слева на
е~х переводит его в касательный вектор в точке 1 группы G, т. е. в
элемент алгебры А.
Пояснение 2. Поскольку преобразование Ad*, можно представить при помощи
матрицы размера "хп, а ряд для f(z) абсолютно сходится для всех 2, то
/(Ad*,) вполне определяет линейное преобразование в А. [В частности, если
I и i1 коммутируют, т. е. если АбД' =[Х, Х'] = 0, то правая часть
(25.9.1) равна просто X'.]
Пояснение 3. Если А-алгебра Ли матриц, то утверждение данной леммы в
принципе можно установить, умножив степенной ряд для е~х а> на степенной
ряд, полученный почленным дифференцированием ряда для еХи>, и приняв во
внимание некоммута-тивность матриц X и X', раскрыв для этого скобки Ли,
т. е. положив [X, Х'] = М/-Х'Х. Нетрудно проверить, что первые два или
три члена результирующего разложения таковы, как указано в лемме.
Доказательство леммы. Определим величины a (s, t) =e-"k Qesi % (t),
P (s, t) -e~s^ <6 des^ n>/d(
так, что p (0, 0 = 0, и воспользуемся леммой из § 25.8: dX(t)/dt-d$(s,
t)/ds=[X(t), P(s, 01.
25.10. Формула Кэмпбелла - Бейкера - Хаусдорфа (К.БХ)
169
Для фиксированного значения t это дает дифференциальное уравнение вида
Я'=сф (s)/ds = Ap (s),
где А - матрица преобразования Ad?. ,о; решением этого уравнения при
начальном условии Р(0)=0 является
Р(5) = [(1-е-^)/Л]Г.
[Замечание. А - вырожденная матрица, поскольку АбхЯ = 0. Выражение (1-
eAs)/A означает матрицу, полученную подстановкой А вместо г в целую
функцию (1- ezs)!z.\ Поэтому
0(1, t = e-*-dek/dt = f(Ad*.) Я', что и требовалось доказать.
25.10. ФОРМУЛА КЭМПБЕЛЛА - БЕЙКЕРА - ХАУСДОРФА (КБХ)
Если Я и ц-коммутирующие элементы алгебры А (т. е. если [Я, ц] = 0) или
коммутирующие матрицы, то eVt = ex+M'. В общем случае мы ищем такой
вектор о, что eV*=e°. Формула КБХ дает явное выражение о через к, jla и
скобки Ли, содержащие Яиц, для к и ц из некоторой окрестности начала
координат А.
Теорема (КБХ). Пусть ф (г) = г 1п г/(г-1) = 1 + ш/(1 -2) - - w2/(2¦ 3) +
ш3/(3• 4)-... для |ш|< 1, где г = 1+ш; тогда для к и ц в некоторой
окрестности начала координат в А
def ^
о = In (eV4) = k + J ф (eAV Аа*) ц dt. (25.10.1)
о
Пояснение 1. Аргумент функции ф() в этой формуле можно представить
матрицей M = I + W размера пхп, которую можно сделать как угодно близкой
к единичной матрице, полагая Яиц достаточно малыми. [Ad0 есть нулевая
матрица, а еАа"-единичная матрица /.]
Степенной ряд для ф(1 + ш) сходится абсолютно при |ш|< 1; следовательно,
ряд для ф (/ + №') сходится поэлементно, если каждый элемент wif матрицы
W удовлетворяет условию |и>"| < 1/я, т. е. если Яиц ограничены некоторой
окрестностью N начала координат в А.
Пояснение 2. Векторы Я, ц, а представляют собой координаты
(логарифмические) элементов группы ек, ее°; значит, а = m (Я, ц). Поэтому
формула КБХ является формулой для т(-, •) в логарифмических координатах и
структура алгебры А полностью определяет умножение в группе в некоторой
окрестности единицы.
Пояснение 3. Все подразумеваемые в (25.10.1) разложения могут быть
осуществлены, и несколько первых членов разложе-
170
Гл. 25. Группы Ли
ния логарифма имеют вид
In(е'-е0) = X + ц + V*[^, + [^. m]] + V"[m. [м. ^]]+---
(25.10.2)
Доказательство теоремы. Обозначим через a (t) функцию 1п(еМ"1); далее
будет найдено дифференциальное уравнение для a (t), решение которого дает
формулу КБХ. Прежде всего, так как
dea <t'>/dt = e^etil}i = ea (6|i,
по лемме предыдущего параграфа имеем
fi - e~a (<" de° ll>/dt - f (Adcr((>) o'(t). (25.10.3)
где /(z) = (l-е~*)/г. Если %(г) определить как г/(1-e~*) = (f (z))~l, то
Х(М)f(M) = I для любой матрицы М, так что уравнение (25.10.3) можно
разрешить относительно а' (t):
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed