Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
автоморфизм алгебры Л, т. е., во-первых, это отображение взаимно
однозначно, а, во-вторых,
еМd [A, v] = [eAddA, /%]. (25.7.8)
[Отметим, что само Adu не является даже гомоморфизмом алгебры Л.]
Говорят, что ем>1 есть внутренний автоморфизм алгебры Л, индуцированный
внутренним автоморфизмом g-*еу ge~n группы G.
Пояснение. Если и -два любых элемента группы и если ed> == е^> е**, то
автоморфизм группы G
g -¦+- M^i
индуцирует автоморфизм алгебры А
Ad.. Ad,| Ad.,
Q M1" == Q Ux q Hg ^
Поэтому в такой окрестности 1, в которой определены логарифмические
координаты, соответствие eAd>1 элементу группы ё1 является (локально)
гомоморфизмом G в группу линейных преобразований в векторном пространстве
Л. В дальнейшем будет показано, что в случае односвязной группы G это
соответствие может быть расширено до гомоморфизма всей группы G, т. е. до
присоединенного представления группы G.
166
Гл. 25. Группы Ли
Группа линейных преобразований в Л, порожденная преобразованиями вида
eAdn, называется группой внутренних автоморфизмов алгебры Ли Л и
обозначается через Int(A). Каждый эле-
Ad Ad
мент этой группы является конечным произведением е ^е ш. . .
. . . eAd^y и называется внутренним автоморфизмом Л (его не всегда можно
представить в виде ем° для некоторого о ? Л). В случае односвязной группы
G элемент группы Int(A) есть образ элемента g = e^e^ . . .e^j группы G
при упомянутом в пояснении гомоморфизме (в присоединенном представлении).
2S.8. ЛЕММЫ О ФОРМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Касательный вектор в t к кривой g(t) в многообразии группы обычно
обозначают через dg(t)/dt или g(t). Это, конечно, чисто формальное
обозначение, если только G не является группой матриц, так как в общем
случае "отношению разностей" (g(ti)-g(^a))/(^i - h) нельзя придать
никакого смысла. Тем не менее это обозначение можно использовать в
согласии со многими правилами дифференцирования, причем оно часто
значительно упрощает запись формул и сокращает выводы этих формул.
Пусть в G выбран элемент h и соответствующая кривая g(t). Если g(tо) -
касательный вектор к g(t) в t0, то hg(t0) следует определить в качестве
касательного вектора к кривой hg(t) в t0. Взаимно однозначное отображение
группы G на себя, задаваемое как g -*hg для фиксированного h, называется
левой трансляцией х) в G. Это отображение индуцирует взаимно однозначное
линейное отображение пространства касательных векторов в точ-ке go = gih)
на пространство касательных векторов в точке hg0. Аналогично g(t0)h
определяется как касательный вектор к кривой g (t) h; поэтому правая
трансляция g-> gh в G индуцирует отображение пространства касательных
векторов в точке g0 на пространство касательных векторов в точке gji.
Согласно этим определениям,
d(hg(t));d.t = hdg(t)/dt, d(g(t)h)/dt = (dg(t)/dt)h. (25.8.1)
Из ассоциативности G следует, что если ht и /г2-элементы группы, а X-
касательный вектор к некоторой кривой, то (hjh2) X = Aj (h2X) и (/ijk)/i2
= /ij (Xh2); следовательно, все скобки можно опустить. В таком
произведении любое число множителей представляет собой элемент группы, но
лишь один множитель может быть касательным вектором, а значит, и
произведение является касательным вектором. В общем случае X, hX, Xh и
х) Либо левым сдвигом.- Прим. перев
25.8. Леммы о формальных производных
167
т. д. являются векторами в различных точках G и не могут сравниваться,
поскольку если и -векторы в различных точках, то уравнение = теряет
смысл. Однако если вектор X принадлежит Л, а значит, является вектором в
1, то >. и ЛАЛ-1- векторы в одной и той же точке G; в частности,
отображение Ь->-е,хке~р есть внутренний автоморфизм eAdi* алгебры Л,
рассмотренный в предыдущем параграфе.
Используя конкретную систему координат, можно без труда установить
следующие соотношения!
d (g (0 h (t))jdt = g (t) dh (t)/dt + (dg (t)/dt) h (0, (25.8.2)
d (g (t)~l)/dt - - g {tr1 {dg {t)/dt) g (/)-\ (25.8.3)
de^/dt^'ke0 =etx%, (25.8.4)
Производные порядка выше первого, вообще говоря, выводят нас из
пространства касательных векторов в другие (по-видимому, малоинтересные)
пространства. Однако если g(s, t) - гладкое двухпараметрическое семейство
элементов в G, то величины, определяемые как
a = ct(s, t)=g~1dg/ds, (4"P(s, () = g-1 dg/dt, (25.8.5)
суть касательные векторы в точке g(s, t)~1g{s, () = 1 Для всех s и /, т,
е. всегда принадлежат Л и могут быть продифференцированы.
Лемма. Для а и определенных в (25.8.5),
da/dt- д$/дъ = [а, (4]. (25.8.6)
[Замечание. В случае линейной группы G d2g/dtds определяется как матрица
(в дополнение к g, dg/dt и dg/ds) и справедливость этой леммы следует
непосредственно из определений (25.8.5) после выполнения
дифференцирования и учета (25.8.3); члены, содержащие d2g/dt ds, взаимно
уничтожаются.]
Доказательство. Для того чтобы проверить (25.8.6) для заданных значений
s=s0, * = *о> запишем g(s, t) в виде g (s0, *o)g(s> 0; тогда аир можно
записать в виде
a (s, t) = g-i dg/ds, P(s, t) = g~l dg/dt.
