Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
является
q>(A(/)) = vi2-f- .,., (25.3.2)
где
v< = a\k = (a'k-aij) (25.3.3)
def
Из формулы (25.3.2) следует, что функция k(t) = k(y t) есть кривая в G,
выходящая из 1, и что v-ее касательный вектор; v называется произведением
Ли векторов X и ц и обозначается при помощи скобок Ли:
v = [b, ц]- (25.3.4)
[Установив довольно сложные законы преобразования коэффициентов а% можно
получить непосредственно из (25.3.3), что v' преобразуются как компоненты
вектора, когда изменяются координаты.]
Из (25.3.3) следует, что произведение Ли линейно по каждому множителю и
антисимметрично: [ц, А,] = -[Я,, ц]; из выражения (25.2.5), которое было
выведено из ассоциативности в G, следует, что произведение Ли также
удовлетворяет тождеству Якоби
[^. [f*> v]] + [n, [v, /,]] + [v, [X, ц]] = 0. (25.3.5)
Примером алгебры Ли является алгебра векторов в R3, где произведение Ли
определяется как векторное произведение [Я,, ц]= -X X fi в обозначениях
Гиббса. Тождество Якоби можно прове-
25.5. Алгебры Ли линейных групп
159
рить, либо записывая (25.3.5) покомпонентно, либо используя тождество Л,
X (jm X v) = (X • v) jm-(X • jm) v. Алгебры Ли матриц будут рассмотрены в
§ 25.5.
25.4. АБСТРАКТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Конечномерное векторное пространство над полем скаляров R (или С) в
случае, когда в этом пространстве определено умножение [X, jla], которое
является линейным по каждому множителю, антисимметричным и удовлетворяет
тождеству Якоби (25.3.5), называется вещественной (соответственно
комплексной) алгеброй Ли. Алгебра Ли, полученная из группы, является
вещественной.
Алгебра Ли в общем случае не только некоммутативна, но и неассоциативна;
иначе говоря, в общем случае [X, [jm, v]] Ф [[X, ц], v]; она не имеет
единичного элемента, потому что [X, >"] = 0 для любого Я, в силу
антисимметрии произведения [X, ц].
Можно полностью описать n-мерную алгебру Ли, выбрав в ней базис е1( ...,
е" (множество п линейно независимых векторов), а затем задав п3
структурных постоянных C)k (разумеется, не все они являются
независимыми), определяемых как
О/. е*] = С)*е,. (25.4.1)
25.5. АЛГЕБРЫ ЛИ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП
Пусть G- группа матриц L, М, ... размера (тхт), т. е. подгруппа группы
GL(m, R) или группы GL(m, С). Тогда ее алгебра Ли может быть реализована
в виде алгебры Ли матриц размера тхт. Выходящая из 1 кривая имеет вид А
(() = / + tL-\- ...; матрицы L, получаемые таким образом, образуют
векторное пространство А размерности, не превышающей 2т2. Чтобы найти
произведение Ли в А, положим, что В (()=/-)- /М ..-другая выходящая из 1
кривая, и определим
K(t) = A(t)B(t)A(t)-1B(t)-' =
= (/ -\-tL-\- ...)(/ -|- /Л1 -|- ...)(/ - tL-\- ...)(/ - /Л1 + ...),
(25.5.1)
как это делалось в § 25.3 для функции k(t) в многообразии абстрактной
группы. После выполнения умножений линейные члены взаимно уничтожаются.
Квадратичные члены в K{t) получаются из непостоянных членов не более чем
в двух множителях, в то время как в остальных множителях берется I. Все
квадратичные члены, получающиеся от А(()А(()-1 и от B(t)B(t)~1, взаимно
уничтожаются, так что в выражении остаются лишь те квадратичные члены,
которые появились в результате умножения линейного члена от А (()
160
Гл. 25. Группы Ли
или A(t)~l на линейный член от B(t) или 5(/)"1. Поэтому
К (/) = / + P(LM - ML)+ ... • (25.5.2)
Тогда, согласно определению произведения Ли [см. (25.3.2) и
(25.3.4)],
[L, M] = LM - ML. (25.5.3)
Этот результат иллюстрирует общее правило, заключающееся в том, что любую
ассоциативную алгебру можно сделать алгеброй Ли, если положить [X, |и] =
Х|и - цХ, где через Хц и цХ обозначены произведения в исходной
ассоциативной алгебре.
Матрицы, подобные описанным выше L и М, в гл. 20 были названы
инфинитезимальными элементами группы; они имели вид L=dA(t)/dt\t=0 и
т.д., и было показано, что для трехмерной группы SO (3) в качестве
инфинитезимальных элементов можно принять матрицы
/0 0 0\ / 0 0 1\ /0 -1 0\
ех = ( 0 0-1, еа = { ООО, е3 = 1 00,
\0 1 0/ \-1 0 0/ \0 0 0/
причем эти матрицы удовлетворяют соотношениям [е,-, 6^ = 6^ {ijk= 1 23,
23 1, 3 1 2).
В гл. 22 было показано, что для группы SU(2), которая также
трехмерна, в качестве инфинитезимальных элементов можно взять матрицы
0 -'Л -1(° -11~1
% - 2 о/ 1,2 ~ 2 1^1 0/ 49 ~ 2 ^ о i У
и эти матрицы удовлетворяют тем же соотношениям, что и е,-,
а именно
[л.-, ЛлНп* (t / * == 1 23, 23 1, 3 1 2).
Согласно (25.4.1), эти соотношения полностью определяют структуру
соответствующей алгебры Лн. Поэтому если через Л3 и Л2 обозначить алгебры
Ли соответственно групп SO(3) и SU (2), то линейное отображение Л3 на Ла,
индуцируемое посредством ег->г]г (t = l, 2, 3), является изоморфизмом.
Если трактовать Л2 иЛ3 как абстрактные алгебры Ли, то они тождественны,
тогда как соответствующие им группы не являются таковыми. Как будет видно
позднее, изоморфизм алгебр индуцирует взаимно однозначное отображение
групп только в окрестности единицы. В таком локальном смысле это
