Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
156
Гл. 25. Группы Ли
кация групп Ли. Это может показаться неожиданным, если учесть, что часто
группы Ли возникают как группы нелинейных преобразований-см. книгу
Эйзенхарта [1933].
25.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ш(-, ¦) И 1(-)
Поскольку функции т(х, у) и 1 (х) принадлежат классу С4, они могут быть
разложены в ряды Тейлора по компонентам х' и у' переменных х и у, включая
члены третьего порядка с остаточными членами четвертого порядка. Из
группового отношения al = \a = a для любого а следует, что
m (х, 0) ==т (О, х) = х (25.2.1)
[вспомним, что <р (1) = 0]. Поэтому в разложении т(х, у) вблизи начала
координат обращается в нуль постоянный член, линейная часть разложения
представляет собой х +у, а квадратичная часть разложения содержит члены
типа х]ук, но не содержит членов типа х]'хк или у*ук\ таким образом,
пг{ (х, у) = х' + у+ a)kX/yk + Ь1!к1х'хку1 + стх]уку1 + ..., (25.2.2)
где а, Ь, с-коэффициенты разложения и использовано соглашение о
суммировании.
Аксиома ассоциативности теории групп налагает на ш(-, ¦) ограничение
m(m(x, у), z) = m(x, m(y, z)). (25.2.3)
Если рассматривать только линейные и квадратичные члены в разложении т(-,
•), то (25.2.3) удовлетворяется автоматически; тем не менее
ассоциативность накладывает некоторые ограничения на коэффициенты а)к в
квадратичной части, что можно увидеть, если включить в разложение также и
члены третьего порядка. Подстановка (25.2.2) в (25.2.3) дает (после
приведения подобных членов)
a)ka\mxlymzk + Ь)ы (xhyk + xkyJ) zl =
- alikakimxiylzm + c)kixi{ykzl + ylzk). (25.2.4)
Исключим теперь из этого выражения коэффициенты b и с. Так как /, k, I, т
являются индексами суммирования, их можно переименовать в каждом члене
таким образом, чтобы множители xkylzm появились всюду; тогда, поскольку
данное уравнение является тождеством по х, у, z, результирующий
коэффициент при хку'гт должен обратиться в нуль, что дает
i j i } i , i ii *A
Q'irnCt'kl'm~m@kiCt'lm -Cklm 'T* (r)klm^/лт*
25.3. Алгебра Ли гриппы Ли
157
Теперь просуммируем данное выражение по четным перестановкам тройки чисел
k, I, т и из полученной суммы вычтем результат суммирования по нечетным
перестановкам; правая часть при этом обратится в нуль, а в левой части
получится сумма, которую можно записать в виде
0 = 2 (a'/m-alni) (a'ki-a'ik) (25.2.5)
и в которой суммирование проводится по четным перестановкам тройки k, I,
т.
Аксиомы группы не налагают больше никаких ограничений на коэффициенты
a)k, ибо уже приведенных ограничений достаточно, чтобы определить алгебру
Ли, и в конце концов окажется, что любая алгебра Ли является алгеброй Ли
некоторой группы Ли. (Это весьма глубокий результат, см. книгу Хаузнера и
Шварца [1968, § III.7].)
Из уравнения
т(1(х), х)==т(х, 1(х))е=0,
которое выражает собой групповое отношение, заключающееся в том, что а~1а
= аа~1= 1 для всех а, можно получить с точностью до квадратичных членов
разложение функции I (х):
/' (х) = -х1' + а)кУхк + .., . (25.2.6)
2S.3. АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ ЛИ
Алгебра Ли А группы Ли G основывается на так называемых инфинитезимальных
элементах G, т. е. на касательных векторах к гладким кривым, выходящим из
единичного элемента 1. Такая кривая задается функцией g(t), определенной
для некоторого интервала (е>0) и такой, что g(0)=l, а соответствую-
щая кривая x(^) = <p(g(^)) в параметрическом пространстве R" имеет
касательную в каждой точке (включая / = 0, которая фактически является
единственной существенной точкой). Если
х (0 = Ф (g (*)) = Xt + ... , (25.3.1)
то при преобразовании координат компоненты Х' вектора X преобразуются как
компоненты контравариантноговектора в точкех = 0 многообразия (см. §
26.1). А именно, поскольку
X = d(f(g(t))/dt |/=0,
видно, что если ввести новые координаты
х'' = х''(х\ хп) (1=1, ..., п),
то
Xй = дхп1дх! |х=0 У.
Этот вектор называется касательным вектором в 1 к кривой g(t.)
158
Г л. 25. Г руппы Ли
[Согласно приведенному выше определению, кривая задается параметризацией,
а также множеством групповых элементов в ней; g(t), g(2t),g(2t-1) -
различные кривые, выходящие из 1, и они имеют различные касательные
векторы, хотя все эти векторы имеют одинаковое направление.)
Множество всех касательных векторов в 1 в некоторой п-мер-ной группе G
составляет n-мерное векторное пространство над вещественным полем IR, так
как если Xt + ... и ц/ + ... являются координатами двух гладких кривых,
то (аХ + b\x) t -f- ..., где aub-вещественные числа, представляет собой
координату третьей гладкой кривой. Это векторное пространство станет
алгеброй, называемой алгеброй Ли А = Л (G) группы G, когда будет
определено умножение, основанное на групповом умножении в G.
Пусть g(t) и h(t)-выходящие из 1 гладкие кривые в G. Если функция k(t)
определяется как коммутатор g(t) и h(t), т. е. если
kU)=g(t)h(t)g(t)-1h(t)-\
и если координаты g(t) и h(t) суть
ф(ё'(0) = Ч0+ .... ф(Л(/))=Ц^+ ....
то непосредственное вычисление показывает, что координатой функции k (t)
