Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
def
ф(Я)={аг(/>): / = 0, ±1, ...}. (24.6.1)
[В первом примере а-сдвиг (х, у)->-(х + 2я, у) в плоскости.] Далее
предположим, что а таково, что множество точек ф(Я) в М дискретно для
каждого Р, т. е. предположим, что найдется такая окрестность точки Р,
которая не содержит других точек а1 (Р) с 1ф0. Тогда, поскольку а
является гомеоморфизмом, каждая точка ок(Р) имеет окрестность, не
содержащую точек а1 (Р) с / =7^= k.
В рамках этих предположений получается многообразие N, "точки" которого
суть множества ф(Р):
ЛГ={ф(Я): Р?М).
Чтобы определить карты на N, возьмем карту {?/, <р, N) на М. Предположим,
что U настолько мала, что в U не найдется такой точки Р, чтобы и о (Р)
лежало в U. (В противном случае заменим эту карту на какую-нибудь
подходящую подкарту.) Карта {U, <р, N\ многообразия N определяется тогда
следующим образом:
- _ def _
#={ф(/>): PeU}, <р(ф(/>)) = <р(/>), PeU, N=N.
В качестве совершенно очевидного упражнения оставляется доказательство
того, что (а) <р взаимно однозначно, (б) определенные так карты попарно
согласованы и покрывают все N, (в) отображение Р--ф(/>) является
отображением на N, (г) любая окрестность U указанного выше вида является
правильной окрестностью каждой своей точки, потому что компоненты ф-1 (U)
суть множества а1 ([/), 1 = 0, ±1, ... . Следовательно, ф есть накрытие N
многообразием М.
Покажем теперь, что каждое накрытие многообразия N многообразием М
связано с группой гомеоморфизмов М описанного выше типа.
Пусть М и N-связные n-мерные многообразия, причем М накрывает N
посредством проекции ф (предполагается, что она
150
Гл. 24. Накрывающие многообразия
не взаимно однозначна, так что накрытие не тривиально). Пусть В, и В0-
отмеченные точки в Ж и N, причем Вг лежит над Вв (т. е. я|5 (BQ =*В0).
Покажем, что для любой другой точки Bj ? Ж, лежащей над В0, существует
гомеоморфизм а многообразия Ж на себя, который переводит Bt в Bj.
Доказательство этого оказывается довольно простым, если Ж односвязно, и
мы рассмотрим сначала этот случай. Если - путь в Ж из Bt в Bj, а <ё0-его
образ в N, то #0-замкнутый путь, начинающийся и кончающийся в В0; далее
мы фиксируем <ё1 и <ё0 и с их помощью построим гомеоморфизм а Ж на себя,
при котором Bj переходит в Bj Пусть
/V pjt) (0</<l), Р*(0) = в*
- путь в Ж из Вг в произвольную точку Рг(\) = Ai. Построим образ At при
отображении а. Пусть Р0-образ пути Р1 в N с конечной точкой Л0 = ф(Л1), а
Pj- результат поднятия пути о Р0 в АI. Тогда Р[(1)-точка, лежащая, как и
Alt над Л0. Отображение о: М -<- М определяется соответствием
о: 4-->Л1 = /,;( 1).
Это определение корректно, потому что при таком же построении с любым
другим путем Qj в N1 из Bt в At оказывается, что Qt гомотопен Я, (так как
М односвязно); следовательно, путь <ё0 о Q0 гомотопен <ё0о Р0, а значит,
по следствию второго принципа поднятия, Р[ гомотопен Qj, и в результате
получается та же самая точка А\ как образ Ai при отображении а. Более
того, о взаимно однозначно, потому что #о' существует. Ясно, что о
непрерывно, поскольку малое смещение точки Аг можно получить при помощи
малого изменения пути Pt и, значит, малого изменения пути Р[, что дает
малое смещение точки А[. Таким образом, о-гомеоморфизм М на себя.
Если М не односвязно, то уже нельзя утверждать, что пути Pj и Qj в Ж из
Bj в At гомотопны. Пусть А\-конечная точка Qj (1) пути Qj; покажем, что
А\ -A\t т. е. что отображение а определено все-таки корректно. Пути Pf1 о
Pj и Qf1 о Qj в М, идущие из i4f в А\ и из Ai в Лj/ соответственно,
отображаются при помощи ф на пути
РД о %0 о Р0 и Q0-' oj?,o Q0.
Однако в N это замкнутые пути, начинающиеся и кончающиеся в Л0, и оба они
гомотопны #0; из следствия второго принципа поднятия вытекает, что Р,-1 о
Pj и Qf1 о Qj гомотопны, и, следовательно, а определено корректно.
Остальные рассуждения оказываются теми же самыми, что и в случае
односвязности М.
Если точки Bj берутся в порядке расположения точек Ж, лежащих над В0
(включая и саму точку Bf), то получается группа
24.6. Многообразия, накрываемые заданным многообразием
151
гомеоморфизмов многообразия М. Действие этой группы на М таково, что для
любой точки множество образов -{сг (^4Х): все <т} дискретно. Чтобы
убедиться в этом, возьмем правильную окрестность [} точки Л0 = ф(Л1). Все
точки а(Лх) лежат над А0, однако, поскольку ф взаимно однозначно на
каждой компоненте U' прообраза ф-1 (U), в каждой такой компоненте может
быть не более одной точки, лежащей над А0.
Задача нахождения всех многообразий, накрываемых заданным многообразием,
тем самым сводится к задаче нахождения всех гомеоморфизмов а описанного
выше вида. Эта идея используется в общей теории относительности (см. гл.
28).
Глава 25 ГРУППЫ ЛИ
Группа Ли G; линейная группа Ли; касательный вектор; алгебра Ли Л группы
G; произведение Ли; тождество Якоби; абстрактная алгебра Ли; структурные
постоянные; локальный изоморфизм групп SU (2) и SO (3); экспоненциальное
отображение алгебры Л в G; логарифмические (или нормальные) координаты в
