Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
..., хп. Эта проекция ф принадлежит классу Ск, потому что в этих
координатах она совпадает с тождественным отображением.
Наконец, для доказательства односвязности М возьмем в качестве отмеченной
точки А0 ? М одну из точек, лежащих над отмеченной точкой В0 ? N. Точнее,
пусть В0 лежит в некоторой карте L на N. Рассмотрим гомотопические классы
?, т), ... замкнутых путей, начинающихся и заканчивающихся в В0. Среди
них есть класс нуль-гомотопных путей (скажем, г|), т. е. путей,
стягиваемых в N непрерывно в точку В0. Тогда А0-это точка из Ly), лежащая
над В0, т. е. имеющая те же самые координаты х1, ..., хп в Lv, что и В0 в
L.
Для произвольной карты Ка на АЛ возьмем один из путей класса а в N и
поднимем его в М согласно первому принципу поднятия из § 24.2 и тем самым
однозначно определим путь (обозначим его через а'), идущий из новой
отмеченной точки А0 в какую-то точку в Ка¦ Тогда в случае перекрытия карт
Ка и получаем, что а~?; следовательно, по второму принципу под-
x'J =*x'J(х1, . .хп),
(24.5.3)
24.5. Построение универсального накрытия
147
нятия пути а' и гомотопны в М или, точнее, становятся гомотопными, если
их выбрать так, чтобы они имели общий конец на перекрытии Ка и Ц.
Пусть теперь Ч: P(k), - произвольный путь в М;
покажем, что он гомотопен любому другому пути, идущему из Р(0) в Р(1), т.
е. что М-односвязное многообразие. Каждая точка Р (а) на % относится к
некоторой карте, а значит, и Р (к)
относится к той же карте для к из некоторого интервала (а-е, а + е). По
теореме Гейне-Бореля можно выбрать конечное подразбиение [0, 1] вида
О = к0 < Яц-^ <... < кк = 1, такое, что Р (к) лежит в некоторой карте,
скажем La , для всех
j = 0, 1, ..., k-1, и это верно для любого k^\kf, Обо-
значим через часть 5? для kf^.k^.ki+i\ эта часть лежит в La . Пусть для
каждого j а)-путь в Ж (такой же, как и в пре-
Рис. 24.9.
дыдущем абзаце), идущий из отмеченной точки А0 в P(kf). Так как обе точки
Р (kj) и Р (kJ+1) лежат в La , путь а) о %^ гомотопен
а]+1 (см. рис. 24.8). Поэтому
ао о 5?0 о о... о <ёк_1 ~ а'к,
148
Гл. 24. Накрывающие многообразия
а поскольку # = #" о о.. .o'Sk_i, то
% ~ (ао)-1 о ak
(см. рис. 24.9). Правая часть здесь зависит только от начальной и
конечной точек Р(0) и Р(1) пути следовательно, любой путь из Р (0) в Р(1)
гомотопен #, что и требовалось доказать.
Резюме (основная теорема). Любое (связное) п-мерное многообразие N имеет
универсальное накрывающее многообразие М (также п-мерное), т. е. имеет
односвязное накрывающее многообразие. М накрывает любое многообразие,
накрывающее N, и все односвязные многообразия, накрывающие N, гомеоморфны
М. Модель М строится при помощи описанной выше процедуры.
24.6. МНОГООБРАЗИЯ, НАКРЫВАЕМЫЕ ЗАДАННЫМ МНОГООБРАЗИЕМ
Рассмотрим теперь задачу, обратную нахождению универсального накрывающего
многообразия М для j заданного многообразия N: пусть задано М, и нужно
построить многообразие N, которое может быть накрыто многообразием М.
Процедура построения использует склеивание (отождествление) множеств
точек в М. Приведем сначала несколько примеров.
Пусть М представляет собой (х, г/)-плоскость, плотно намотанную на
единичный цилиндр Z, ось которого лежит в направлении оси у. Мы знаем,
конечно, что тогда плоскость накрывает цилиндр, однако мы сейчас покажем,
как установить этот факт априори. Мы знаем, что для заданной точки (х, у)
все точки (х + 2nl, у), 1 = 0, ±1> ±2, ..., плоскости совпадают с одной
точкой цилиндра. Поэтому многообразие N, гомеоморфное цилиндру Z, можно
построить так: определим "точки" многообразия N как множества
det
{(х + 2nl,y): 1 = 0, ±1, . . . | = ф ((х, у)),
и соответственно этому определим и карты в N. Тогда отображение (х, у) -
>ф((х, у)) есть проекция М на N. Говорят, что все точки (х + 2nl, у)
каждого множества отождествлены (т. е. сделаны идентичными). Отметим, что
множитель 2л несуществен, потому что здесь играют роль только
топологические свойства N. Отождествление (склеивание) точек (х + п, у)
или вообще точек (х + ап, у) для любого ненулевого вещественного числа а
приводило бы к тому же самому результату.
Аналогично, если для каждой точки (х, у) € М отождествляются все точки
вида (х + /, у + т), где I и т независимо пробегают значения 0, ±1, ±2,
..., то получающееся многообразие N оказывается тором (точнее,
гомеоморфно тору).
Пусть М-бесконечная полоса -1<х<1, -оо<г/<оо. Пусть для данной точки (х,
у) ? М отождествляются точки вида
24.6. Многообразия, накрываемые заданным многообразием
149
((-1)' х, у + 1), 1 = 0, ±1, получающееся после этого многообразие N
оказывается листом Мёбиуса.
Обобщая эти примеры, возьмем произвольное (связное) многообразие М.
Предположим, что а-гомеоморфизм (класса С*, если М является С*-
многообразием) М на себя. Обозначим через а1 l-ю суперпозицию <т, т. е.
q*(P) = q(q(. ..<т(Р)...)),
I раз
а через а~1-l-ю суперпозицию обратного отображения а~1. Для любой точки Р
? М рассмотрим множество точек
