Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 58

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 162 >> Следующая

довольно сложны и искуственны, однако своему назначению они вполне
соответствуют (см. Хаузнер и Шварц [19681).
Другим примером служит вопрос о возможности существования тех или иных
неевклидовых геометрий (основанных на аксиомах, отличающихся от аксиом
евклидовой геометрии); эта задача была решена построением моделей без
использования каких-либо новых аксиом. В этих моделях были введены
определенные объекты, которые довольно произвольно были названы
"точками", указано, что означает "расстояние" вдоль кривой между двумя
точками, определена "прямая" как кривая минимальной длины между двумя
точками и т. д. и, наконец, было доказано, что эти "объекты"
удовлетворяют всем аксиомам Евклида, за исключением того, что через точку
Q, не лежащую на прямой L, проходят много различных прямых L', L", ... и
т. д., параллельных L (или - для другой модели-таких прямых нет вообще).
Таким образом было доказано, что аксиому Евклида о параллельных можно
изменять, не порождая этим противоречий 1) (см. гл. 26-28).
Распределения сами по себе являются конструкциями. Дирак постулировал
существование некоего объекта, обозначенного через fi(x-х0), который во
многих отношениях должен был вести себя как обычная функция и, кроме
того, обладать некоторыми
def
особыми свойствами. Функционал <6, ф> = ф(х0), если его интерпретировать
должным образом, удовлетворяет всем этим требованиям.
Математическая модель универсального накрывающего многообразия М для
данного многообразия N строится в следующем параграфе методом,
заимствованным из общей теории относительности (см. замечание в § 23.4).
Пространство М не предполагается известным заранее ни как топологическое
пространство, ни даже как набор точек. Вместо этого имеется набор карт и
указано, как их следует связать друг с другом, чтобы получить М..
Согласно теореме Уитни о вложении (которая здесь доказываться не будет),
"-мерное многообразие, подобное М (абстрактное или какое-либо другое),
гомеоморфно "-мерной поверхности некоторого евклидова пространства EN
более высокой размерности; эта поверхность дает другую математическую
модель многообразия М, если первая модель была уже построена.
1) Иначе говоря, аксиома о параллельных является независимой.-Прим.
перев.
24.5. Построение универсального накрытия
145
24.5. ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО НАКРЫТИЯ
Пусть задано связное многообразие N класса Ск, и мы хотим построить
односвязное многообразие М, накрывающее N. Предположим, что карты К, L,
... на N односвязны *). Выберем в N отмеченную точку В0 и для любой карты
К обозначим через а, р, ... гомотопические классы путей из В0 в К (концом
этих путей может быть любая точка из К, поскольку К односвязна). Далее мы
берем дубликаты карты К, обозначаемые через Ка, К$, по одному для каждого
гомотопического класса (см. рис. 24.7), а затем для получения
многообразия М соединим все
Рис. 24.7. Построение универсального накрывающего многообразия.
карты Ка, Кр, • .Ьц, .. ., ..., уточнив, как они должны перекрываться.
Если заданы любые две из них, скажем Ка и L^, то положим, что они не
перекрываются, если не перекрываются в N карты К и L. Если К и L
перекрываются, то можно предполагать, что пути из а и т] имеют общий
конец на перекрытии К и L. Тогда мы будем считать, что Ка и не
перекрываются, если пути из а не гомотопны путям из tj; в случае же
гомотопии указанных путей (в этом случае мы будем писать а ~ tj) мы
полагаем, что Ка и L" имеют то же самое перекрытие, что и К и L. Точнее,
пусть
K = {U, ф, N\, L = {U', ф', Л/'}. (24.5.1)
Тогда для каждого а карта Ка представляет собой копию К, отличающуюся от
К и от других копий только указанием раз-
х) Точнее, односвязны множества U, на которых определены координатные
функции ф (см. § 23.1).-Прим. перев,
146
Г л. 24. Накрывающие многообразия
где Ua и -области многообразия М, которые определяются следующим образом:
каждая точка х области N координатного пространства R" определяет точку
p?Ua с координатами
cpJ(p) = xJ, где х1- координаты х. Многообразие М состоит из всех таких
точек, определенных для всех карт Ка, •••" ....... . Эти точки М различны
с точностью до отождествления точек, которое необходимо делать, когда
определяется перекрытие карт.
Перекрытие карт К и L в N описывается, согласно (24.5.1), функциями
которые определяют взаимно однозначное отображение области N на область
N' и поэтому задают две координатные системы на области Ur\U' из N. Если
а~т], то мы полагаем по определению, что перекрытие Ка и Kv, задается
теми же самыми равенствами (24.5.3), а точку из Ua, имеющую данные
координаты х1, .. ., хп, отождествляем с точкой из с соответствующими
координатами х'1, ..., х'', определяемыми этими равенствами.
Ясно, что эта процедура порождает некоторое многообразие М того же самого
класса гладкости Ck, что и N. Проекция ф М на N легко определяется
проектированием каждой Ка на соответствующую карту К: каждая точка из
?/асА1 проектируется в точку из UcN, имеющую те же самые координаты х1,
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed