Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
постоянного контакта с ней, то в качестве пространства конфигураций
получается декартово произведение сферы и многообразия SO(3), т. е.
пятимерное многообразие.
Ясно, что такого рода примеров можно построить сколько угодно.
Глава 24
НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Локальный гомеоморфизм; проекция; р-листное накрытие; правильная
окрестность; принципы поднятия; универсальное накрывающее многообразие;
построение математических моделей; многообразия, накрываемые данным
многообразием.
Предварительные сведения: гл. 23 и частично гл. 18 и 19,
24.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ
(2->- 1)-отображение ф группы SU (2) на группу SO(3), описанное в § 19.7,
не просто групповой гомеоморфизм; оно является таким отображением
многообразия SU (2) на многообразие SO (3), которое называют накрытием.
Это отображение-локальный гомеоморфизм в том смысле, что для любой точки
Р многообразия SU (2) найдется такая ее окрестность, которая гомеоморфно
отображается при помощи ф в некоторую окрестность образа Q точки Р в
многообразии SO(3). Более того, для произвольной точки Q второго
многообразия всегда найдутся две такие точки Р первого многообразия, что
каждая из них имеет подобную же окрестность. Отображение ф является
двулистным накрытием многообразия SO (3) многообразием SU (2).
Отображение ф: М -> N многообразия М в многообразие N (эти многообразия
будут называться далее "верхним" и "нижним" многообразиями
соответственно) называется накрытием многообразия N многообразием М, если
оно удовлетворяет двум требованиям, из которых первое утверждает, что
накрывается все N, а второе объясняет, как именно оно накрывается. Эти
требования таковы: (а) ф-отображение на N, т. е. для любой точки Q
нижнего многообразия (N) найдется хотя бы одна точка Р верхнего
многообразия (М), такая, что ф(Р) = ф; (б) любая точка Q нижнего
многообразия содержится в некоторой окрестности V, прообраз ф-1(У)
которой (т. е. множество всех точек верхнего многообразия, отображаемых в
точки V) состоит из одной или более непересекающихся окрестностей Ult U2,
.. или компонент (по одной из каждого "листа" в М), каждая из которых
гомео-морфна V, т. е. для каждого j отображение Р-*-ф(Р), ограниченное на
Uj, является взаимно однозначным бинепрерывным отображением Uj на V.
Окрестность V в нижнем многообразии,
136
Г л. 24. Накрывающие многообразия
обладающая такими свойствами, называется нами правильной окрестностью *).
(Отображение называется бинепрерывным, если и оно само, и обратное ему
отображение непрерывны.) Если х1, ...
хп-координаты Р в окрестности Uj в Ж, а у1,..., у'1- координаты
соответствующей точки ф (Р) в окрестности V в N, то х' являются
непрерывными функциями от у1 (и наоборот) на всех соответствующих
окрестностях. Очевидно, что размерности Ж и N должны совпадать.
Если такое отображение ф существует, то Ж называется накрывающим
многообразием многообразия N, а ф-накрытием многообразия N многообразием
Ж или проекцией Ж на N.
Если многообразия связны, то кратность накрытия (т. е. число точек Ж,
отображаемых в одну точку в N) постоянна всюду, потому что это число
(положительное целое или + оо), очевидно, постоянно в любой окрестности
и, следовательно, постоянно всюду на Ж и N. Если кратность равна р, то
отображение ф называется р-листным накрытием. Если Ж и N-многообразия
класса Ск, то требуется, чтобы х' как функции у' также были бы Ск-
гладкими, т. е. чтобы ф было отображением класса Ск.
Замечание. Следующий одномерный пример показывает, что если просто
потребовать, чтобы каждая точка Р верхнего мно-
гообразия М имела окрестность, отображаемую гомеоморфно на окрестность в
нижнем многообразии N, то это не будет эквивалентно указанному в
определении требованию. Пусть N-единичная окружность на плоскости, а М-
открытый интервал длины более 2л, намотанный на эту окружность. Тогда
точки а и b в N, лежащие под концами М (рис. 24.1), не удовлетворяют
условиям определения, хотя, поскольку М открыто, каждая его точка имеет
окрестность, гомеоморфно отображаемую в N.
х) Иначе говоря, ф называется накрытием, если существует покрытие
многообразия N набором правильных (относительно ф) окрестностей (good
neighborhoods, по терминологии автора,). -Прим. перев.
24.1. Определение и примеры
137
Пусть М - риманова поверхность произвольной алгебраической функции F (г),
все точки ветвления которой исключены, N- комплексная плоскость с
исключенными соответствующими точками, а ф-отображение, переводящее любую
точку из М в точку N, лежащую непосредственно под ней (т. е. в точку,
связанную с тем же значением г); тогда ф-накрытие JV многообразием М. Для
произвольной точки P?N найдется некоторая окрестность V, которая
односвязна и не содержит никаких точек ветвления функции F (г). Если
построить прямой цилиндр с основанием V, то этот цилиндр пересечет каждый
лист римановой поверхности по окрестности U, которая выглядит в точности
как V. Следовательно, V-правильная окрестность.
