Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой группу порядка п\ относительно обычного закона
композиции отображений (справа налево); эта группа называется
симметрической группой п символов и обозначается через &п. Подгруппа всех
пМ2 четных перестановок называется знакопеременной группой п символов и
обозначается через Лп.
18.5. ГОМОМОРФИЗМЫ. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
Напомним, что гомоморфизмом является отображение cp:G-><?' группы G в
группу G', такое, что q>(afc)=cp(a)cp(&) для всех а и Ь из G. (Если ф к
тому же взаимно однозначное отображение на всю группу G', то мы имеем
изоморфизм.) Определим некоторые подмножества групп G и G' (мы увидим,
что на самом деле эти подмножества представляют собой подгруппы):
G0 - {x- (р(х) = е' (единица группы G')} =
- ядро отображения = кег (ф);
G,' = {ф (х): x?G} =
= образ G при ф = ф(в)
(см. рис. 18.2). Наибольший интерес представляет случай, когда образ G[
=ф (G) является более простой группой, чем G (в таком
Рис, 18.2. Гомоморфизм группы G в группу G'.
случае ф не может быть взаимно однозначным), однако все же ф(в) не
сводится к тривиальной группе {е'}. Тогда можно считать, что этот образ
обладает основными свойствами группы G, но без некоторых тонкостей. В
этом смысле ф(в) аппроксимирует G настолько точно, что образ произведения
двух элементов из G всегда является произведением их образов.
16
Гл. 18. Элементарная теория групп
Теорема. Подмножества G0 и G| являются подгруппами групп G и G'
соответственно-, кроме того, уху'1 ? G0 для любого х из G0 и любого у из
G.
Мы проведем детальное доказательство этой теоремы для того, чтобы
продемонстрировать образец подобных доказательств. Доказательство
большинства других теорем этой главы предоставляется читателю.
(1) Доказательство (того, что G0 < G). Нужно доказать, что в G0
выполняются аксиомы группы. Во-первых, допустим, что хну принадлежат G0,
т. е. ф(х)=е' и <р (у)=е'. Нужно показать, что xy?G0. Так как <р (ху) =
<р (х) <р (у) (в силу того, что отображение <р является гомоморфизмом),
то <р (ху) = е'е' = е' (в силу свойства единицы в любой группе). А
поскольку G0 определялось как множество всех элементов группы G, которые
отображаются в элемент е', то ху принадлежит G0. Во-вторых, закон
ассоциативности выполняется в G0 автоматически, так как он выполняется во
всей группе G [если х, у и г принадлежат группе G0, то (ху) г = х (уг),
поскольку х, у, г принадлежат также группе G], Третью аксиому рассмотрим
в альтернативной форме, приведенной в замечании в § 18.1. Существование
единицы. G0 содержит единицу е, ибо если а-произвольный элемент G, то <р
(а) <р (е) - = <р (ае) = <р (а); следовательно, ср(е)-е'. Существование
обратного элемента: допустим, что а принадлежит G0 (значит, <р (а) = е')\
тогда е' = <р (е) =<р (ас.-1) = = <р (а) <р (а~1)=е'<р (a~1) = q> (а~1),
т. е. а~1 принадлежит G0.
(2) Доказательство (того, что Gi < G'). Совершенно аналогично
доказывается выполнение аксиом группы в Gi. Во-первых, если х' и у'
принадлежат G1( то х'=ф(х) и у' = <р(у) для некоторых х и у из G, но х'у'
= = <р (х) <р (г/) = <р (ху) и так как Gi было определено как множество
всех таких элементов группы G', которые равны ф <z) для некоторого z?G,
то х'у' принадлежит Gl Во-вторых, умножение ассоциативно в Gj в силу
того, что это свойство имеет место во всей группе G', В-третьих, ранее
было показано, что ф(е)=е'; следовательно, е' ? G|. Наконец, если x'?Gb
то х'=ф(х) для некоторого x?G. Но х'ф (х-1) = ф (х) <р (х~1) = ф (хх-1) -
ф (е) = е', откуда следует, что ф (х-1) является обратным элементом (х')-
1 для элемента х'; следовательно, (x')-1^Gl.
(3) Доказательство (того, что уху-1 принадлежит G0, если х ? G0, В у-
произвольный элемент G).
Ф (уху-1) = Ф(у) ф (х) ф (у ~I) = ф (у) е' ф (у ~ 1) = ф (у) ф (у ~ 1) =ф
(у) (ф (у)) ~1=е'; следовательно, yxy~l?G0.
Замечание. Все эти заключения справедливы даже в том случае, когда G' не
является группой, а представляет собой лишь множество, на котором
определено произведение х'у'. В частности, тогда следует, что
подмножество G,' обязательно является группой, даже если G' может не быть
таковой. Все рассуждения остаются в силе, за исключением второго этапа
части (2) приведенного доказательства. Для доказательства закона
ассоциативности в G| возьмем в Gi элементы х', у', г', т. е. элементы
вида Ф'М> Ф (У)> Ф(г). Тогда (х'у') г' = (<р (х) <р (у)) <p (z) = ф (ху)
<р (г) =
18.6. Смежные классы
17
= ф ((ху) г) = ф (х (уг)) (последнее равенство благодаря ассоциативности
умножения в G) = ф (х) ф (уг) = ф (х) (ф (у) ф (г)) = х' (у'г').
Любая подгруппа G0 группы G, такая, что уху'1 ? G0 длй любого х ? G0 и
для любого у ? G, называется нормальной подгруппой (или нормальным
делителем) или инвариантной или самосопряженной подгруппой группы G;
символически G0 <] G. Ясно, что гомоморфизм интересующего нас вида может
существовать только в том случае, когда G содержит нетривиальную
(отличную от {е}) собственную (т. е. не совпадающую со всей группой G)
