Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 49

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 162 >> Следующая

23.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГООБРАЗИЯ.
АКСИОМА ОТДЕЛИМОСТИ ХАУСДОРФА
Замечание. Данное изложение теории многообразий отличается от обычного
только в одном отношении. Обычно исходят из пространства, которое уже
было наделено некоторой топологической структурой, причем фактически
предполагается, что оно должно быть хаусдорфовым пространством (см.,
однако, книгу Ленга (1962)). Затем требуют, чтобы системы координат были
непрерывными относительно этой топологии. С другой стороны, существование
систем координат значительно ограничивает топологию, причем так, что
пространство оказывается локально евклидовым (топологически; метрических
свойств мы не касаемся). Для наших целей кажется более приемлемым
полностью определять топологические свойства системами координат. Тогда
оказываются необходимыми только хорошо известные топологические свойства
евклидовых пространств за одним исключением: когда многообразие строится
путем сборки отдельных кусков двух или нескольких карт, нужно
позаботиться о том, чтобы выполнялась аксиома отделимости Хаусдорфа,- об
этом мы еще будем говорить ниже.
122
Г л. 23. Элементарная теория многообразий
Замечание. Исходным моментом изложения является пространство Л10, которое
является просто набором (несчетным) никак не определенных элементов,
называемых точками. В некоторых приложениях пространство М0 задано
заранее, например, оно может быть группой. С другой стороны, в геометрии
Римана или в общей теории относительности исходным материалом служит
множество функций •••- хп), определенных на коорди-
натах х1, ..., хп, лежащих в некоторой области N координатного
пространства IRn; тогда предполагается, что каждая точка в N определяет
точку Р многообразия Римана или описываемого физического пространства.
Затем эта область многообразия (или физического пространства) может
расширяться при помощи преобразования координат, подобных (23.2.1),
(23.2.2), до тех пор, пока на основании какого-либо критерия мы не
убедимся в том, что получилось полное многообразие (см., например,
критерий Крускала геодезической полноты, описанный в гл. 28). В этом
методе построения многообразий заранее ничего не говорится об абстрактном
пространстве М0 или о его подмножествах U, U' и т. д., пока описание не
стало полным. Каждая карта определяется описанием N, и явно ничего не
говорится об U и <р, поэтому мы предпочитаем сохранять N в обозначении
{?/, <р, N\ карты.
Многообразие должно удовлетворять следующей аксиоме, которая выражает
очевидное свойство евклидовых пространств.
Аксиома отделимости Хаусдорфа. Если Р и Q-любые различные точки, то
существуют такие окрестности U и V точек Р и Q соответственно, что Uft V
= 0.
Когда две системы координат при построении многообразия составляются
вместе, возможно нарушение этой аксиомы, что и подтверждает следующий
одномерный пример. Пространство М6 состоит из трех экземпляров прямой
R, его точки обозначаются
как {х, а), где х - вещественное число, а а-одна из букв а,
b
или с. На М0 определяются следующие две карты:
иг-={{х, а\: х^0\[)\\х, Ь\: х < 0),
Ф! = ({х, а\) = х, N1 = R;
?/2 = {{х, с\: Ь\: х < 0),
<i2({x, а\) = х, Ns = R.
Каждая карта сама по себе порождает гомеоморфизм R, однако точки Р={0, а)
и Q={0, с} не отделены, потому что любые два открытых интервала,
содержащие Р и Q соответственно, включают общие точки вида {х, b}, х<0.
Ясно, что такое явление можно легко исключить при практическом построении
многообразий.
23.5. Кривые и функции на многообразии
123
Определение, п-мерное многообразие М есть пространство М0 вместе с
(конечным или счетным) множеством согласованных /г-мерных карт, которые
вместе покрывают все М" так, что получающаяся топология удовлетворяет
аксиоме отделимости Хаусдорфа. Ясно, что согласованные системы координат
могут быть добавлены или отброшены, когда это желательно, если только
покрытие всего М0 сохраняется. Внутренние свойства М-это те свойства,
которые не изменяются от таких добавлений и исключений.
Многообразие М называется Ск-многообразием, если преобразования (23.2.1),
(23.2.2) любых двух систем координат принадлежат классу Ск, т. е. если
функции х'(...) и у'(...) имеют непрерывные частные производные (чистые и
смешанные) всех порядков вплоть до порядка k. В таком случае добавление
новых систем координат ограничивается этим же требованием. Аналогично М
называется С(tm)-многообразием, если эти преобразования принадлежат классу
С", или вещественным аналитическим многообразием, если они задаются
аналитическими функциями. Многообразия непрерывных групп (групп Ли)-
вещественные аналитические многообразия. С другой стороны, в общей теории
относительности целесообразно допускать С*-многообразия с конечным k,
потому что полевые уравнения Эйнштейна являются гиперболическими и, в
принципе, гравитационные волны могут переносить разрывы различных
производных компонент метрического тензора.
Упражнение
В § 19.6 были определены внутренние координаты 6Л, 6у, 02 в группе
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed