Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда вероятность Р (Z) полагается равной
P(Z) = [(det А (М))''21(2л)т/*]\ ехр /-(1/2) 2 xjA (Af)/kxk\ dV.
s I /. * I
(31.3.9)
Как было указано в § 13.11, эту функцию множества Р(-) можно единственным
образом расширить до вероятностной меры, определенной на о-алгебре А,
образованной цилиндрическими множествами.
Теперь применим эти соображения к вещественному гильбертову пространству
ff=L2 (0, 1), используя координаты хк и базисные функции (рк, заданные в
виде (31.3.5) и (31.3.6). Определим оператор А простой формулой
00
Лф (*) = 2
- се
где функция ф(х) задана в виде (31.3.7), а ак положительны и 2(1 /ак)
<оо, так что оператор В = А-1 компактен. Рассмотрим цилиндрические
множества
I К
Zm, /с = ч ф ? Т2: 4л2 2 I Ьхк |2 <Л45 I -К
такие, что
Zm, 1 Zm, г к zj. . .z> DM, (31.3.10)
где множество Dm определено в (31.3.4). Тогда (31.3.9) принимает вид
К ______________________ | к \
Р(2л1,к) = Ц ^а*/(2л)\..Л ехр^-(1/2) 2 akxl\dx-K...dxK, (31.3.11) -К
s I -К )
Прилож. к гл. 81. Типичные свойства систем
359
где 5-эллипсоидальная область:
к
S: 4яа). (31.3.12)
-к
Упражнения
3. Полагая, что в (31.3.11) все переменные интегрирования, кроме
последнего, изменяются от -оо до оо, тогда как изменение последнего, хк,
ограничено условием | хк | < М/(2лК), покажите, что
P(Zm,k) < М (ак)1^1[(2п?)^К].
4. Теперь положим а* = | й |г, где г > 1 (чтобы сделать ряд 2 (1/а*)
сходящимся). Покажите, что если 1 < г < 2, то Р ->- 0 при К->• оо,
так
что, согласно (31.3.10), Р(0д1) = О, и поэтому благодаря счетной
аддитивности
P(0) = P^jj DM^j = 0.
Это упражнение показывает, что тощее множество D дифференцируемых функций
в L2 (0, 1) имеет гауссову меру нуль, если 1 < г < 2. При г > 2 Р(0)=1.
Грубо говоря, с возрастанием г гауссова мера все больше и больше
концентрируется в окрестности нуля в Н. В силу (31.3.3) дифференцируемые
функции лежат вблизи нуля, так что при большой концентрации вероятностной
меры в окрестности нуля дифференцируемые функции приобретают
положительную вероятность, но при г < 2 онн имеют нулевую вероятность.
Поэтому в данном случае вероятностная мера может быть выбрана так, чтобы
нетипичное свойство (дифференцируемость) не было вероятным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ")
Абрахам, Роббин (Abraham R., Robbin J.) [1967]. Transversal mappings and
flows.-New York: W. A. Benjamin.
Адлер, Базин, Шиффер (Adler R., Bazin М., Schiffer M.) [1965].
Introduction to general relativity.- New York: McGraw-Hill.
Барут А., Рончка P. (Barut A. O., Rajzka R.) [1977]. The theory of group
representations and applications.- Warsaw: PWN Polish Scientific
Publishers. [Имеется перевод: Теория представлений групп и ее
приложения.- М.: Мир, 1980.]
Берендс, Дрейтлейн, Фронсдейл, Ли (Behrends R. Е., Dreitlein J., Fronsdal
С., Lee W.) [1962]. Simple groups and strong interaction symmetries.-
Rev. Mod. Phys., v. 34, p. 1-40.
Бёрнер (Boerner H.) [1955]. Darstellungen von Gruppen.- Berlin,
Heidelberg, New York: Springer.
Боас (Boas R. P.) [1960]. A primer of real functions.- Rahway: Wiley.
Бойер, Линдквист (Boyer R. H., Lindquist R. W.) [1967]. J. Math Phys., v.
8, p. 265.
* Борисевич Ю. Г., Близняков H. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н.
[1980]. Введение в топологию,- М.: Высшая школа.
Бохер М. (Bocher М.) Introduction to higher algebra [1922].- New York:
The MacMillan Co. [Имеется перевод немецкого изд. 1910 г.: Введение в
высшую алгебру.- М.- Л.: Гостехиздат, 1933.]
Вебер Дж. (Weber J.) [1961]. General relativity and gravitational waves.-
New York: Wiley [Имеется перевод: Общая теория относительности и
гравитационные волны.- М.: ИЛ, 1962.]
Вейль (Weyl Н.) [1928]. Gruppentheorie und Quantenmechanik.- Leipzig: S.
Hir-zel.
- [1932]. The theory of groups and quantum mechanics.- New York: E. P.
Dutton and Co.
* Векуа И. H. [1978]. Основы тензорного анализа и теории ковариантов.-
М.: Наука.
Вигнер Е. (Wigner Е.) [1931]. Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die
Quantenmechanik der Atomspektren.- Braunschweig: Fr. Vieweg u. Sohn AG.
[Имеется перевод дополн. и исправл. американского издания 1959 г.: Теория
групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров.-
М.: ИЛ, 1961.)
Виленкин Н. Я. [1965] Специальные функции и теория представлений групп.-
М.: Наука.
Вильямс P. (Williams R. F.) [1977]. The structure of Lorenz attractors.-
In: Turbulence Seminar (Univ. of Calif., Berkley) 1976-1977, p. 94-112.
[Имеется перевод: Структура аттракторов Лоренца.- В кн.: Странные
аттракторы.- М.: Мир, 1981, с. 58-72.]
х) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе В ссылках в
тексте номера страниц приводятся по изданию, год выхода которого указан
после фамилии автора.- Прим. перев.
Список литературы
361
Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я- [1962]. Обобщенные функции.
Вып. 5. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории
представлений.- М.: Физматгиз.
Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. [1958]. Представления группы
