Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
пространство физических систем. Когда физик говорит, что проявление
определенного свойства такой системы весьма маловероятно, он скорее всего
имеет в виду следующее: если из X каким-либо образом выбрано большое
число 'N систем, то очень немногие из них обладают рассматриваемым
свойством и с ростом N относительная доля обладающих этим свойством
систем стремится к нулю. Такое утверждение, если оно верно, неизбежно
носит вероятностный характер. В этом описании недостает только объяснения
того, как эти \! систем выбираются из X Так как X в общем случае
бесконечномерно и, следовательно, в нем нельзя определить лебегову меру,
не существует возможности выбирать N систем случайным образом на
основании равномерного распределения в X, потому что такого распределения
не существует.
Метод выбора должен определяться с учетом физических соображений и не
может исходить лишь из концепции типичности.
Конечно, есть много способов определения вероятностных мер в
бесконечномерных пространствах (примерами служат гауссовы меры в
гильбертовом пространстве, описанные в § 13.11 тома 1). Такая мера может
быть исполь-
Прилож. к ел. 81. Типичные свойства систем
357
зова на для выбора /V систем из X. Представляющиеся здесь возможности,
по-видимому, весьма разнообразны, и может оказаться необходимым
использовать ряд физических соображений. Например, должно представляться
разумным требование о том, чтобы вероятностная мера была положительной на
открытых множествах в X, так как в противном случае сам выбор
пространства X выглядел бы ошибочным и некоторые его части следовало бы
исключить. Затем предположим, что в X существуют преобразования,
приводящие к таким модификациям систем, при которых основные их свойства
изменяются и в то же время свойства, представляющиеся маловероятными,
остаются таковыми; тогда после такого преобразования в X множества меры
нуль должны переходить в множества меры нуль. С точки зрения физической
интерпретации, приведенной в разд. 31.Г, необходимо лишь, чтобы сильно
нетипичное свойство имело место только на множестве меры нуль.
Все это пока что не более чем общие рассуждения, однако они могут
указывать на то, что в физике типичность вряд ли заменит вероятность, но
она, возможно, будет указывать правильный путь для надлежащего выбора
вероятностных мер.
Упражнения
1. Покажите, что дифференцируемость нетипична также и для гильбертова
пространства H = L2(0, 1). Схема доказательства состоит из следующих
шагов. Сначала определите в Н линейное многообразие
D={\p?Z.2: ф'?4.2}, (31.3.1)
где производная понимается в смысле теории распределений (см. гл. 5 тома
1). Для любого ф из Н имеет место представление
Ч>(*) = 2 1ьеШ1кх. (31.3.2)
- со
Тогда многообразие D можно охарактеризовать как
D = {ty?L2: 2|k"fcl2<°°}" (31-3-3)
Для каждого Л4 = 1. 2, определите также меньшее многообразие
0М = {Ф€4>- ф'бТД ||ф'|!"?/И} = {ф€7Л 4л2 2 I I2 < Л'!2}- (Э1 -3.4)
Если бы удалось показать, что каждое Dm нигде не плотно, т. е. что допол-
00
нение CDM плотно и открыто, то отсюда следовало бы, что D= U Dm -
М = 1
тощее множество в Н. Покажите сначала, что CDm плотно, убедившись, что
любое ф?4.2, не нарушающее условие ||ф'||<Л4, может быть сделано
нарушающим его (путем добавления к ф произвольно малой функции с большой
производной). Затем покажите, что CDM открыто. Для этого рассмотрите
любое ф из CDm, т- е- такое ф, для которого либо ||ф'||=оо, либо
|ф'||=/И4-6 при некотором б > 0. Нужно показать, что найдется окрестность
этого ф,
которая содержится в CDm- Выберите К так, чтобы / К \ 1/2
( 2 1*6*П > М+й/2,
и покажите, что если %-любая такая функция из Z.2, для которой |х11
<
< 6/(4К), то |!ф' + х'|] > 44Д-6/4, так что CDm открыто.
2. Используя аналогичные проведенным выше рассуждения, но полагая
везде i-k-ik, покажите, что то же самое верно и для вещественного
гильбертова пространства L2 (0, 1).
358
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
Чтобы ввести вещественные координаты и вещественные базисные функции,
положим
1а = Ч, ik=(xk + ix-k)/}r2> *=1,2...................... (31.3.5)
фе (*) = 1, (х) = Y2 cos 2л**,
Ф _&(*) = У 2 sin 2л**.
Тогда, подставляя в (31.3.2) %к вместо \-к, найдем, что
(31.3.6)
ф(*)= 2 **?*(*), (31.3.7)
- 00 00
ф'(х) = 2я 2 **-*Ф*М- (31.3.8)
- 00
Гауссовы меры в вещественном гильбертовом пространстве Н были описаны в
§ 13.11 тома 1. Там отмечались следующие основные
моменты. Если
М-любое конечномерное подпространство из Н и S - любое борелево
мно-
жество из АЛ, то множество
Z = S + MX,
т. е. множество всех точек х-\-у, у которых x?S и называется ци-
линдрическим множеством. Чтобы определить так называемую гауссову меру в
Н, обозначим через В положительный ядерный оператор и положим А = В~*.
Затем взяв любое цилиндрическое множество Z = S-}-Mx, dim Af = /n,
обозначим через {фу}?1 некоторый ортонормированный базис в М и определим
матрицу A (Af) размера mXffl, положив A (Af)jk = (<fj, Аук), 1 </,*</".
