Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 149

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 162 >> Следующая

гамильтоновы системы консервативны) и в некотором смысле нетипичны среди
динамических систем, так что для них малые возмущения, о которых идет
речь, отнюдь не произвольны, а таковы, что система остается
гамильтоновой.
31.Е. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ТИПИЧНЫХ И НЕТИПИЧНЫХ СВОЙСТВ
Рассмотрим пространство непрерывных функций С (0,1), определенных при с
обычной нормой ||/1 = sup | f (х) |. Для таких функций
дифференцируемость- нетипичное свойство и нетипичны даже
дифференцируемость в отдельной точке и непрерывность по Липшицу в
отдельной точке (см. книгу Боаса [1960] и упражнение 1 ниже).
Следующие два примера являются частью более полного варианта теоремы
Пейксото, чем приведенный выше. Как утверждалось, для векторного поля на
компактном двумерном многообразии типично существование конечного числа
неподвижных точек и периодических траекторий. В системе координат с
началом отсчета в неподвижной точке векторное поле запишется как
F (х) = Ах+
где А - матрица размера 2x2. В теореме утверждается, что для каждой такой
неподвижной точки типично быть гиперболической, т. е. что для матрицы А
типично отсутствие чисто мнимых собственных значений; следовательно, есть
три возможности; если оба собственных значения имеют отрицательные
вещественные части, то неподвижная точка будет притягивающей', если оба
они имеют положительные вещественные части, то она будет отталкивающей;
если одно из них имеет положительную вещественную часть, а другое -
отрицательную, то неподвижная точка будет седловой.
Другое утверждение теоремы Пейксото состоит в том, что существование
траектории, идущей от одной седловой точки к другой, нетипично: если
такая траектория существует для некоторого векторного поля, то малейшее
возмущение может сделать ее проходящей мимо второй седловой точки.
В § 29.6 было сделано предположение, которое не доказано и даже полностью
не сформулировано. Там говорилось, что в существующих теоремах о полноте
систем собственных функций для гидродинамических задач предполагается,
что обобщенные собственные функции (если они и существуют) исключены [см.
уравнение (29.6.5)]. Это обосновывается тем, что в некотором подходящем
пространстве гидродинамических систем существование обобщенных
собственных функций нетипично. Говорят, что собственное значение X имеет
индекс 1, если не существует соответствующих ему обобщенных собственных
функций. Представляется вероятным, что для любого собственного значения
Х^ иметь индекс 1 сильно типично, тогда как для всех них иметь индекс 1
только типично, так как счетный набор плотных открытых множеств не
обязательно будет открытым множеством, но в любом случае будет бэровским
множеством.
Упражнение
1. Для каждого целого положительного п определим подмножество Еп из
С(0, 1) следующим образом: функция f принадлежит Еп, если найдется такое
х0 из [0, 1-1/л], что
\[f(x0+h)-f(x0)]/h\*zn при 0 < А < 1/л. (31.Е.1)
Покажите сначала, что Еп - замкнутое подмножество пространства С (0, 1),
проверив, что если jk (х) равномерно сходятся к / (х) при k ->- оо и
каждая
356
Г л. S1. Ранняя стадия турбулентности
функция удовлетворяет условию (31.Е.1), то ему удовлетворяет и /.
Покажите далее, что дополнение подмножества Еп плотно: покажите на самом
деле, что любую функцию / из С (0, 1) можно сделать дифференцируемой при
помощи малого возмущения (используйте для этого введенные в томе 1
операторы сглаживания); затем получившуюся функцию можно сделать
нарушающей условие (31.Е.1), добавив к ней в случае необходимости
дополнительное малое возмущение, имеющее достаточно большую производную в
точке х = х0. Следовательно, каждое Еп - нигде не плотное множество, и
поэтому U Еп - тощее множество, а отсюда следует, что для функции из л =
1
С (0, 1) нетипично быть непрерывной по Липшицу справа от любой точки.
31.Ж. ОТСУТСТВИЕ СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ типичностью и СУЩЕСТВОВАНИЕМ МЕРЫ
ЛЕБЕГА
Упражнения
1. Пусть X- единичный интервал на вещественной оси, рассматриваемый как
метрическое пространство с расстоянием (х,у) = \х-у |, и пусть п-целое
положительное число. Каждому рациональному числу p/q, где 0 < р < q,
поставим в соответствие интервал
p/q-\/(nq2Q) < * < p/q+\/(nq24)
и обозначим через Sn объединение всех таких интервалов. Покажите, что
множество Sn открыто и плотно в Л и имеет меру Лебега, не превосходящую
4/л. Убедитесь далее, что бэровское множество в X может иметь лебегову
меру нуль, а тощее множество-меру 1.
2. Пусть S - пересечение множеств Sn. Согласно упражнению 1, S -
бэровское множество. Покажите, что оно несчетно рассмотрев числа х из [0,
1], имеющие двоичное представление вида
х- O.ajOajOO.. .0а300.. .0а400...,
где каждое at равно 0 или I. Покажите, что если число нулей v; между а( и
at + 1 достаточно быстро возрастает с ростом /, то х будет принадлежать
всем множествам Sn. Покажите, что множество всех таких х несчетно.
Э1.3. ВЕРОЯТНОСТЬ И ФИЗИКА
Предположим, что топологическое пространство X представляет собой
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed