Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
из них доказываются по индукции).
1) Если [/, /]-символ, то /=#=/.
2) У каждого символа есть один или два последующих в зависимости от того,
какой случай имеет место: случай 2 (а) или случай 2 (б).
3) Символу [/, /] при положительных / и / предшествует только один
символ, а именно [/-1, /-1].
4) Если [/, /]-символ, то либо 1(-<Гу^0, либо 0^1(. <Гу, где знак <
обозначает порядок следования после проектирования полосы 5 на линию
ветвления ВВ поверхности L".
5) Так как, согласно предположению 5 предыдущего параграфа, траектория
Wf(Q) после прохождения точки 1х по меньшей мере еще дважды обойдет
неподвижную точку Рг, прежде чем перейти через центр на правую половину
полосы S, мы видим, что первые несколько символов, начиная с [1, 0],
будут такими:
[1,0]
[2,0] [0,1]
[3,0] [0,1] [1,0] [0,2].
В частности, символу [0, 1] предшествуют по крайней мере два различных
символа-символы [1, 0] и [2, 0].
346
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
6) Каждый символ в конечном счете предшествует любому другому символу в
том смысле, что если <J = [t, /] и т = ["', /'] заданы, то найдется такая
конечная последовательность о0=о, Oj, о2, ..., ап = т, в которой ак
всегда предшествует символу ak+l. Это ясно, если о0 = [1, 0] (или [0,
1]), так как, согласно правилам, все другие символы следуют за [1, 0] или
[0, 1] (т. е. получаются из них), и мы только что видели, что [1, 0] и
[0, 1] следуют один из другого. С другой стороны, если т = [1, 0] (или
[0, 1]), а символ о произволен, то нужную последовательность можно найти,
используя свойство несохранения близости, которым обладает отображение
Пуанкаре гр0 (s) линии ветвления ВВ. Грубо говоря, это свойство означает,
что можно выбрать такую последовательность, чтобы ширина интервала (1Л
гу.) постоянно увеличивалась. Вильямс доказал, что, начав с произвольного
о, можно достичь символа [1, 0] (а тем самым и символа [0, 1]) за
конечное число шагов, если производная i|)o(s)>}/2 для всех s. В случае,
изучавшемся Лоренцем, минимум фо($) был больше, чем примерно 1.05; однако
при помощи метода, обсуждавшегося в § 31.11, на ВВ вместо длины дуги s
можно ввести новый параметр, чтобы превратить график функции ф0 (s) в два
прямолинейных отрезка, и тогда фо (s) на самом деле будет больше У2
(фактически больше, чем примерно 1.9).
7) Для каждого i > 0 (и каждого j > 0) найдется по крайней мере одно /
(одно /), такое, что [/, /] будет символом.
31.15. ПРЕДЫСТОРИИ
Согласно § 31.4, одно из характерных свойств аттрактора L состоит в том,
что точка х принадлежит L тогда и только тогда, когда траектория х(Г),
для которой х(0) = х, лежит на L как при всех <<0, так и при всех t^0.
При t->-оо траектория х (<) проходит по однозначно определяемой
последовательности поверхностных элементов 2, 2', 2", ... вида,
описанного в § 31.13. Если траектории на 2 проходятся назад по времени,
они переходят на 2' и т. д. Следовательно, начальная кривая элемента 2
является по меньшей мере частью конечной кривой элемента 2'. Если
начальная кривая для 2 связывает 1; с Гу, а такая же кривая для 2'
связывает Iр с г,-, то [Г, /'] предшествует [/, /]. В общем случае у [t,
/] может быть много предшествующих символов, но как только выбрано
конкретное звено, соединяющее 1; с Гу, тем самым однозначно выделяется и
предшествующий элемент, потому что начальная кривая поверхностного
элемента 2' однозначно определяется его конечной кривой.
Отсюда следует, что если [г, у]-символ, то каждое звено, связывающее I, с
Гу, характеризуется такой единственной беско-
31. 16. Аттрактор Лоренца. Детали структуры. II 347
нечной последовательностью символов а_2, а_х, а0 = [/, /], в которой
о_к_х предшествует символу а_к при каждом k.
Можно показать, что если продолжить эту последовательность до
бесконечности и в другом направлении, т. е. взять
• • .<т_2, а_х, ст0, ог, оа, ..(31.15.1)
то мы выделим не только конкретное звено, связывающее 1; с гЛ но и
отдельную точку этого звена, так что каждая последовательность (31.15.1),
в которой ak всегда предшествует oft+1, соответствует единственной
траектории на L. Это следует из свойства несохранения близости для
отображения Пуанкаре на ВВ. Если продолжить две траектории вперед по
времени, то независимо от того, насколько они были близки друг к другу
при t - 0, они будут в конце концов разделены так, что в некоторый момент
времени t > 0 окажутся на разных поверхностных элементах 2.
31.16. АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА. ДЕТАЛИ СТРУКТУРЫ. II
Покажем сначала, что если [/, /]-символ, то найдется несчетное число
звеньев из F, связывающих !; с г/. Согласно предыдущему параграфу, каждое
такое звено соответствует единственной последовательности символов
..., о_2, а_х, о0 = [/, /], (31.16.1)
в которой o_k_x всегда предшествует о_к. Верно и обратное (см.
следующий параграф): любая такая последовательность определяет некоторое
звено, и мы увидим, что для данного а0 такую последовательность можно
выбрать несчетным числом способов. После того как выбран какой-либо
