Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
[1959, § 50].
Глава 19 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Общие линейные, специальные линейные, ортогональные и унитарные группы;
группа вращений и группа Лоренца; теорема Эйлера, четыре компоненты
полной группы Лоренца, прецессия Томаса; многообразия группы; внутренние
координаты; двусвязность группы вращений; гомоморфизм группы SU (2) на
группу SO (3) и гомоморфизм группы SL (2) на Хр; простота группы вращений
и группы Лоренца.
Предварительные сведения; гл. 18 и некоторые алгебраические факты.
Непрерывными группами (формальное определение будет дано в гл. 25)
называются группы матриц (или соответствующих линейных преобразований), в
которых элементы группы непрерывно зависят от некоторых параметров,
подобных углам Эйлера в случае группы вращений. Здесь мы опишем свойства
некоторых известных непрерывных групп.
Группа всех невырожденных (в общем случае комплексных) матриц размера пхп
называется общей линейной группой и обозначается через GL(n, С). Группа
вещественных матриц обозначается через GL(n, R). Подгруппы групп GL(n, С)
и GL (/г, R), состоящие из матриц с det = 1, называются специальными (или
унимодулярными) линейными группами и обозначаются через SL(n, С) и SL(n,
R). Обозначения других подгрупп группы GL (п, С) будут приведены в ходе
обсуждения.
19.1. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА И ГРУППА ВРАЩЕНИЙ
В матрично-векторных обозначениях плоское вращение (18.1.1)
представляется в виде
х
-+x' = Rx,
(19.1.1)
где
cos ф - sin ф sin ф соэф
). (19.1.2)
При преобразовании (19.1.1) длина любого вектора и угол между любыми
двумя векторами сохраняются, так что если x' = Rx и w' = /?w, то x'w' =
xw для любых двух векторов
36
Гл. 19. Непрерывные группы
Найдем теперь преобразования, обладающие таким свойством, в n-мерном
случае, т. е. задав
'*1 *11 • • • Rin
X = • И т. д. S *3 II • ¦
Rni ••• RnnJ
будем искать такие матрицы R, что (Rx) (Ry) = х ¦ у для любых векторов х
и у. Пусть |(у) обозначает вектор, у'-я компонента которого равна
единице, а остальные компоненты равны нулю. Тогда, в частности, матрица R
должна быть такой, что
| 1, если y' = ft,
Я! (у)(ft) = ?(/)• = ! 0i
если у Ф ft.
Так как вектор
(R
Rl(i) =
1/
vR
Я/
представляет собой у'-й столбец матрицы R, ясно, что столбцами матрицы R
являются попарно ортогональные единичные векторы. Такая матрица
называется ортогональной. Обратно, если R обладает указанным свойством,
то Rx-Ry = ху для всех х, у. Если через RT обозначить матрицу, полученную
транспонированием матрицы R, то строки матрицы RT будут столбцами матрицы
R и, по правилу умножения матриц, имеем
О 0 ... 0)
RTR =
0 1
0 0
0
1
(19.1.3)
и мы получили другую характеристику ортогональной матрицы. Поскольку RT =
R~1-матрица обратного преобразования, также сохраняющего скалярное
произведение, отсюда следует, что RT- тоже ортогональная матрица;
следовательно, столбцы RT (т. е. отроки матрицы R) образуют другую
систему п попарно ортого-
19.2. Группа вращений SO (3). Теорема Эйлера
37
нальных единичных векторов. Так как det /?r = det R, из (19.1.3) следует,
что det/? = ± 1. Теперь мы определим
0(я) = {/?: R-вещественная ортогональная матрица размера пхп}
в качестве ортогональной группы в я-мерном случае, в которой групповой
операцией является матричное умножение. Тогда подгруппа
SO(п) = {R ? О(п): dettf=l)
есть специальная (или унимодулярная) ортогональная группа в я-мерном
случае. Мы можем рассматривать эти группы и как группы матриц, и как
группы соответствующих преобразований х -v Rx в я-мерном пространстве.
19.2. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ SO(3).
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Сейчас мы покажем, что если R - ортогональная (вещественная) матрица
размера 3x3 с det R = 1, то преобразование х -*¦ Rx может быть получено
следующим образом: сначала выбирается некоторое направление в
пространстве, проходящее через начало координат, а затем осуществляется
поворот системы координат на нужный угол вокруг этого направления как
вокруг оси. В этом заключается теорема Эйлера. Пусть Аг и уг (t = l, 2,
3) - собственные значения и собственные векторы матрицы R (они могут быть
комплексными даже в том случае, когда R вещественна); они удовлетворяют
уравнениям
R\.=sX.\l ({=1,2,3). (19.2.1)
Так как R также и унитарная матрица, мы имеем j|/?v;|J = j|
v;(|,
где |v J для любого (вообще говоря, комплексного) вектора v
обозначает (|fx|2 + |yv|2 + |u2|2)1/a; следовательно,
|Х,|-1 ({ = 1,2,3). (19.2.2)
Числа %i являются корнями кубического уравнения с вещественными
коэффициентами
det (XI-/?) = 0; (19.2.3)
произведение этих корней равно единице'
-det/?-1. (19.2.4)
По меньшей мере один из этих корней является вещественным; если два
других (скажем, А2 и А3) комплексны, то А3=А3 и в силу
(19.2.2) А2А3=1; следовательно, ^ = 1. Если все три корня являются
вещественными, то они равны либо 1, 1, 1, либо 1, -1, -1. В любом случае
всегда имеется один корень, скажем А*, равный +1; следо-
38
Гл. 19. Непрерывные группы
вательно,
tfv, = vt,
откуда видно, что прямая, проведенная через начало координат в
