Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
31.10. АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ
Чтобы исследовать поведение системы после второй бифуркации при
г=г0=24.74, Лоренц численно нашел решения системы (31.9.1) при г-28. Он
установил, что после прохождения участков относительно быстрого изменения
траектории оказываются лежащими, насколько это позволяют утверждать
расчеты, на ветвящейся поверхности L0, схематически изображенной на рис.
31.3а, где указаны также и направления движения. Грубо говоря, эта
поверхность
31.10. Аттрактор Лоренца. Общее описание
333
имеет сердцевидную форму и расположена очень близко к вертикальной
плоскости X = Y, содержащей неподвижные точки Рi и Р2, определенные в
(31.9.6). Она симметрична по отношению к отражению относительно оси Z и
имеет два отверстия - по одному вокруг каждой из неподвижных точек Pi и
Р2. Ниже линии ветвления ВВ, которая соединяет эти два отверстия и
проходит несколько ниже горизонтали PiP2, поверхность представляет собой
сплошной лист. Над ним расположены два листа: один чуть левее и сзади,
другой чуть правее и спереди. Они соединяются по средней части линии
ветвления ВВ, изображенной жирной прямой.
Поверхность L0 ограничена частью относящегося к нулю неустойчивого
многообразия, которая состоит из двух траекторий Wi и Wr, выходящих из
нуля в противоположных направлениях. Эти траектории в дальнейшем уходят
внутрь поверхности L0, но перед этим они обойдут указанные отверстия и
затем пересекут линию ветвления ВВ в концах ее средней части. Неподвижные
точки Pi и Р2 находятся в отверстиях, и если бы поверхность L0 закрыла
отверстия, то траектории раскручивались бы по спирали на их месте; на
рисунке тем не менее видно, что вошедшая в L0 траектория уже никогда не
выйдет на отверстия.
Каждая траектория пересекает линию ветвления ВВ сверху вниз; после
пересечения ВВ в центральной точке она асимптотически стремится к
состоянию покоя в нуле; в противном случае она обходит одно из отверстий
и снова пересекает ВВ и т. д. Мы определим отображение Пуанкаре s-m|)0
(s) отрезка ВВ следующим образом. Пусть s - параметр вдоль ВВ (например,
длина дуги), причем для центральной точки s=0. Если траектория пересекает
ВВ при s=s1=^=0, то в следующий раз она пересечет ВВ при s='i|)0(si);
значение фо(0) не определено. Рис. 31.36 схематически поясняет это
определение. Путем численного построения траекторий можно прове-
334
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
рить, что такое отображение обладает свойством, названным Вильямсом
[1977J "несохранением близости" *) и состоящим в следующем: если / -
любой интервал s0<s<s0+e (он может быть сколь угодно малым), то n-кратное
отображение / при некотором п будет совпадать с ВВ. Иначе говоря,
независимо от того, насколько близки две траектории на L0 одна к другой
вначале, с течением времени они в конце концов станут вполне
разделенными. В этом можно убедиться, например показав, что при
подходящем выборе параметра s для всех s справедлива оценка г|у>
(s)^const> 1.
Траектория, которая пересекает линию ветвления ВВ слева от ее центра,
обходит точку Рх по часовой стрелке, перед тем как
вернуться к ВВ, а если пересечение было справа от центра, траектория
обойдет против часовой стрелки точку Р2. Число обходов траекторией одной
из точек Pi или Р2, перед тем как перейти к другой, зависит от того, как
быстро она раскручивается по спирали относительно этой точки, а также от
критического пути или от того, как далеко от центра она впервые пересекла
ВВ после прихода Рис. 31.36. Отображение Пуанкаре. с другой стороны.
Сущность
открытия Лоренца состоит в том, что последовательные числа оборотов
относительно этих точек изменяются псевдослучайным образом, так что
движение является апериодическим.
Как отметил сам Лоренц, картина, основанная на ветвящейся поверхности L0,
не может быть точной, потому что две траектории, пересекающие линию
ветвления ВВ в одной и той же точке, должны были бы после этого полностью
совпасть, что противоречит однозначной обратимости траекторий.
Следовательно, два листа поверхности не могут сливаться в один лист, а
должны оставаться разведенными на очень небольшое расстояние. После того
как траектории сделают еще по одному обороту, два листа превратятся в
четыре и т. д. Отсюда следует, что аттрактор должен состоять из
бесконечного множества листов, возможно как-то связанных вместе в единую
структуру в R3, которая называется аттрактором Лоренца и обозначается
через L. Однако, по крайней мере для значений параметров, исследованных
Лоренцом (а=10, Ь=*!3, г=28), приведенная выше детализация структуры в
действительности является вполне
]) В оригинале locally eventually onto. - Прим. перев.
31.11. Аттрактор Лоренца. Апериодические движения
335
исчерпывающей: разделение листов оказывается настолько незначительным,
что с точностью примерно до четырех десятичных знаков ветвящаяся
поверхность L0 вместе с движениями на ней, как они были схематически
изображены, полностью описывает аттрактор.
