Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 138

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 162 >> Следующая

Если движение неустойчиво в этом смысле, то найдется такое (не
обязательно очень малое) положительное е, что при любой малости 6 будет
существовать возмущение, по модулю меньшее 6 вначале и большее е в
некоторый более поздний момент времени. Одна из причин появления
излагаемой ниже работы Лоренца состояла в том, чтобы показать, что
некоторый простой прототип атмосферного движения является неустойчивым по
Ляпунову, а это имеет очевидное отношение к задаче о прогнозе погоды.
31.9. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА. БИФУРКАЦИИ
Первый странный аттрактор в задаче, имеющей отношение к гидродинамике,
был обнаружен Э. Лоренцом в 1963 г. Лоренц разложил уравнения Бенара,
описывающие тепловую конвекцию в подогреваемом снизу горизонтальном слое
жидкости, в тройные ряды Фурье относительно пространственных переменных,
а затем оставил в получившейся системе обыкновенных дифференциальных
уравнений, характеризующих зависимость коэффициентов Фурье от времени,
только три уравнения. Если коэффициенты Фурье в этих уравнениях
обозначить через X (t), Y (t) и Z(t), то уравнения запишутся в виде
X = -oX + oY,
Y = гХ-Y - XZ, (31.9.1)
Z = - bZ + XY,
или короче в виде
X = F (X). (31.9.2)
Постоянные сг, г и & безразмерны; для физической системы,
рассматривавшейся Лоренцом, они имели значения
<х=10, &=8/з, 0 < г < оо; (31.9.3)
31.9. Система Лоренца. Бифуркации
331
параметр г пропорционален числу Релея и является мерой интенсивности
подогрева.
Лоренц хотел получить общее представление о характере неустойчивости,
заложенной в основе атмосферных явлений, и не стремился к тому, чтобы
указанная выше система была реальной моделью атмосферы или тепловой
конвекции. Позднее Карри [1978] изучал более реальное приближение для
уравнений конвекции Бе-нара, оставив в системе четырнадцать уравнений
вместо трех. У него получилась более сложная последовательность
бифуркаций при увеличении числа Релея г, но и тогда странный аттрактор
еще имел место для определенных значений г.
Лоренц показал, что существует такая зависящая от а, г и Ь постоянная R,
что решение Х(/) системы (31.9.1) в конце концов навсегда попадает в шар
Х2 +Y2 + Z2 < #2. (31.9.4)
Далее, из (31.9.1) следует, что дивергенция векторного поля F (X) имеет
постоянное значение:
V.F = - (а + 6+1) = - 13%, (31.9.5)
так что объем области, переносимой вдоль по потоку (31.9.1) в R3,
уменьшается со временем как ехр (-13.67/). Поэтому в шаре
(31.9.4) имеется хотя бы один аттрактор и каждый такой аттрактор
занимает в R3 нулевой объем.
Система (31.9.1) имеет следующие неподвижные точки, или стационарные
решения.
1. При любом т начало координат X = Y=Z=0 будет неподвижной точкой. При
0<г<1 она устойчива (и фактически является притягивающей). При r> 1 она
неустойчива: линеаризованная задача имеет одно положительное и два
отрицательных собственных значения. Имеются одномерное неустойчивое
многообразие с горизонтально направленным касательным вектором в нуле (он
параллелен плоскости Z=0) и двумерное устойчивое многообразие с
расположенной вертикально касательной плоскостью.
2. При любом г > 1 имеются две дополнительные неподвижные точки
Р,: Х = У-КЫ7=Г), Z-,-l.
Р2: x = Y = Vb(r- 1), Z = г - \.
Следовательно, при r= 1 происходит первая бифуркация описанного в § 29.9
типа.
Чтобы ответить на вопрос об устойчивости новых неподвижных точек, положим
Х = Х0 + Х,, где Х0-одна из точек (31.9.6),
332
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
и проведем линеаризацию относительно Хх, после чего получим
'К\ ( 0 0 \ (ХЛ
Yi) = [r-Z0 -1 -Х0 [Y, . (31.9.7)
У J \ Y0 Х0 -Ъ / \ZX /
Если подставить сюда Х0, К0 и Z0 из (31.9.6), то матрица этой системы
примет вид
-а а О
1 -1 -V Ь(г - 1)
УЬ(г-1) Vb(r-1) -ь
она имеет одно вещественное отрицательное и два комплексно сопряженных
собственных значения. Комплексные собственные значения будут находиться в
левой полуплоскости (и тем самым новые неподвижные точки будут
устойчивыми), если л</0, где
го==а(а + Ь + 3)/(а-Ь- 1) = 24.74. (31.9.8)
Следовательно, при г=г0 имеет место вторая бифуркация, а ее тип совпадает
с описанным в § 29.10, так что она приводит к периодическим решениям.
Однако, как показывают вычисления Марсдена и Мак-Кракена [19761, эта
бифуркация является докритической. Следовательно, периодические решения
имеются только при л</0 и неустойчивы, а при л>л0 следует ожидать
взрывного перехода к чему-то иному. Как мы увидим ниже, оказывается, что
переход на самом деле не будет "взрывным" благодаря наличию другого
аттрактора (в действительности странного аттрактора) в близкой
окрестности в R3 (см. § 31.17).
При г~>г0 с каждой из точек Pi и Р2 связаны одномерное устойчивое и
двумерное неустойчивое многообразия. На последнем решения раскручиваются
по спирали из неподвижной точки. Близкие решения также раскручиваются по
спирали и в то же самое время быстро движутся к неустойчивому
многообразию благодаря тому, что с устойчивым многообразием связано
большее по модулю отрицательное собственное значение.
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed