Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
значений т, а 5(•) или S' (¦) получаются только для некоторых дискретных
значений со. В этом случае S'(•) обычно получается из R (•) при помощи
алгоритма быстрого преобразования Фурье, и, если спектр содержит линии,
они выглядят не как вклады вида 8-функции в 5'( ), а как отдельные
значения S'(-), которые много больше окружающих значений.
3. Если х (t) получается из эксперимента или путем численного
моделирования, то в (31.6.1) нельзя совершить предельный переход и вместо
этого следует положить
ь
R (т) " [l/(b - a)] J х (? + т)-х (t) dt, (31.6.5)
а
где (а, Ь)-некоторый большой интервал. Как было указано в конце § 31.4,
хотя функция \{t) и рассматривается как некоторое приближение к движению
на его собственном ю-предельном множестве и тем самым как определенная
для всех t, на практике она известна только при t~^ 0; поэтому в
представлении
(31.6.5) мы имеем 0 < а < Ь. К тому же это представление будет
хорошим приближением, если все быстрые переходы произошли гораздо раньше
момента времени t = а.
По поводу дальнейших подробностей и примеров см. § 4.6 тома 1.
31.7. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Квазипериодические движения, предсказываемые согласно модели Ландау -
Хопфа, являются частным случаем почти периодических движений и,
следовательно, имеют чисто линейчатый спектр.
Если периодическая функция g из (31.1.1) с т периодами разложена в m-
кратный ряд Фурье, т. е.
00
g(zI. •••"zm)== ? °(ki> • ¦ •> km)elik^+-+k^m\ (31.7.1)
- с(c) (fej, km)
то после надлежащей перенумерации слагаемых квазипериодиче-ская функция
f(t), заданная в виде (31.1.1), может быть представлена как
00
/(0=*2>/5Л (31.7.2)
/= 1
31.7. Почти периодические и апериодические движения
329
где каждое со^ является линейной комбинацией со*, <от с целочисленными
коэффициентами.
Если бы нашлось такое значение т>0, для которого все величины (Ofct (k=\,
. . т) одновременно будут целыми кратными числа 2л, то функция /(/+т)
тождественно равнялась бы f(t) и /(•) была бы периодической. Так как cofe
несоизмеримы, такого т не существует. Однако можно показать, что т можно
выбрать так, чтобы разность /(/+т)-/(/) стала произвольно малой. Более
того, для данного е>0 найдется такое Т-Т(г)>0, что в каждом интервале по
/ длины Т будет содержаться по крайней мере одно такое т, для которого
|/(/ + т)-/ (/) | < е при всех t.
Любая непрерывная функция, обладающая этим последним свойством,
называется почти периодической по Бору и может быть разложена в ряд вида
(31.7.2), который при этом сходится по определенной ТЛнорме (см. книгу
Рисса и Секефальви-Надя [1953, гл. 4]). Квазипериодическая функция, как
мы ее определили, является почти периодической функцией, для которой
только конечное число частот будут линейно независимыми над полем
рациональных чисел.
Векторнозначная почти периодическая функция х(/) определяется аналогично.
Как было показано в § 4.6 тома 1, почти периодическая функция имеет чисто
линейчатый энергетический спектр. Следовательно, при переходе к
турбулентности согласно модели Ландау - Хопфа энергетический спектр
остается чисто линейчатым после любого конечного числа бифуркаций, хотя
число линий в данном частотном интервале может заметно увеличиваться с
ростом числа Рейнольдса.
Как мы увидим, модель Рюэля -Такенса предсказывает появление непрерывного
спектра после сравнительно небольшого числа бифуркаций.
Почти периодический характер движения в модели Ландау - Хопфа кажется
неправдоподобным с интуитивной точки зрения. Если движение в каком-то
смысле случайно, оно не должно "запоминать" свое прошлое поведение
настолько точно, чтобы воспроизводить это поведение с любой желаемой
степенью точности в сколь угодно далекие времена в будущем, как это имеет
место для почти периодического движения. Это можно выразить также в
терминах автоковариационной функции R (т), поскольку R (т)/R (0) -
автокорреляция, т. е. корреляция функций /(/) и f(t+x). Теорема о почти
периодических функциях гласит, что свертка двух таких функций в смысле
(31.6.1) также будет почти периодической (см. книгу Рисса и Секефальви-
Надя). Следовательно, R (т) будет почти периодической, если такова /(/),
и коэффициент корреляции /(/) и /(/+т) будет произвольно близко
приближаться к 1.0 повторно для определенных произвольно больших значений
т.
330
Гл. 3J. Ранняя стадия турбулентности
Напротив, для типичного движения по странному аттрактору R(x) быстро
убывает к нулю при т-*-±оо; тогда энергетический спектр оказывается чисто
непрерывным и получается с помощью
(31.6.4). Случай такого аттрактора Лоренца рассматривается в § 31.11.
31.8. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
Движение x(t) [решение уравнения (31.4.1)] устойчиво в смысле Ляпунова,
если любое другое движение х(/) [другое решение уравнения (31.4.1)],
которое достаточно близко к нему в начальный момент, остается близким и в
дальнейшем, точнее, если для любого е>0 найдется такое 6=6(е)>0, что
если 1 х (0)-х (0) | < б, то |х(0-х(*)|<е при всех t > 0.
