Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 136

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 162 >> Следующая

11.5. АТТРАКТОРЫ
Грубо говоря, аттрактор-это такое множество из М, что любое достаточно
близкое к нему движение стремится к нему с возрастанием времени. Точнее
говоря, мы будем называть связное замкнутое ограниченное множество 5 из М
аттрактором, если выполняются следующие условия.
1. 5 содержится в таком открытом множестве 910, что для любого х из 910
движение <р (х, t) принадлежит 910 при всех t > 0.
2. Если Э1-любое открытое множество, содержащее 5 (см. рис. 31.2), то для
любого х из Э1 найдется такое значение времени т, что <р(х, t) будет
принадлежать 91 при всех t > т.
3. Для данной области 9i0 множество 5 является наименьшим из имеющих
указанные свойства множеств. Минимальность понимается в том смысле, что
если 91 (t)-результат преобразования области 910 под действием <р, то при
t ->¦ оо 9i{t) стягивается к S, но не более того, т. е.
S = П SL(t).
<>0
Для данного аттрактора 5 наибольшее открытое множество еИ0, обладающее
перечисленными свойствами, называется областью
326
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
притяжения S. Будем считать 5 связным, так как если он состоит из двух
несвязанных "кусков" 5] и S2, то каждый из них может быть включен в
подходящие области cRi и oR3 и рассматриваться как отдельный аттрактор.
Смейл [1967] сделал дополнительное предположение о том, что должна
существовать траектория, плотно покрывающая 5. Примером, в котором это
условие не выполнено (тогда как другие выполнены), является задача
Тейлора о течении между вращающимися цилиндрами. После первой бифуркации
получается замкнутая кривая (в действительности окружность) в фазовом
(гильбертовом) пространстве, состоящая из неподвижных точек, и любое
близкое
движение асимптотически стремится к состоянию покоя в одной из этих
неподвижных точек. Однако этот пример нетипичен в том смысле, что
произвольно малое возмущение (скажем, перемещение всей установки с малой
скоростью вдоль оси или в направлении г) может привести эти точки в
движение вдоль окружности, так что окружность превратится в траекторию.
"-предельное множество движения будет аттрактором, если оно притягивает
также все другие близкие движения. В более общем случае аттрактор 5 - это
объединение нескольких "-предельных множеств, а именно "-предельных
множеств всех движений, которые начинаются в oR. В частности, 5 может
содержать неподвижные точки и замкнутые траектории, которые, конечно,
являются своими собственными "-предельными множествами.
Притягивающие неподвижные точки, притягивающие замкнутые траектории и
притягивающие инвариантные торы различных размерностей представляют собой
примеры аттракторов. Другие аттракторы часто имеют более сложную
геометрическую структуру, содержащую, например, канторовы множества.
Странным называется такой аттрактор, на котором движения неустойчивы в
смысле Ляпу-
31.6. Энергетический спектр для движения в R"
327
нова и, следовательно, характеризуются непрерывным энергетическим
спектром, как это объясняется в остальной части данной главы.
31.6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ДЛЯ ДВИЖЕНИЙ В R"
Основы теории энергетического спектра обсуждались в § 4.6 тома 1. Там это
делалось для непрерывной функции f(t), которая осциллирует более или
менее иррегулярно при всех t от -оо до +оо. Такая функция не может быть
представлена ни с помощью классического ряда Фурье, поскольку она не
является периодической, ни с помощью классического интеграла Фурье, так
как она не принадлежит L2. Но она является распределением медленного
роста и, следовательно, имеет преобразование Фурье в смысле теории
распределений. Энергетический спектр - это функция S(w), которая
описывает распределение энергии, связанной с f(t), через частоты
компонент Фурье без учета их фаз. А именно S (ю) - неубывающая
вещественная функция и S((t>2) - 5 ((c)i) -это энергия, заключенная в
компонентах Фурье с частотами из интервала (coi, ю2).
Мы кратко сформулируем здесь результаты применительно к (вместо / (/))
векторнозначной функции x(t), х(/)? R".
Для х (t) автоковариационная функция определяется как
т
R (т) = lim [1/(27')] ^ х (I + т)-х (t)dt, (31.6.1)
Г-*сс у
а энергетический спектр как
00
S(to)= ^ # (т) [(?lVc-1)/(2л1т)] dx. (31.6.2)
- оо
Пояснения
1. Мы молчаливо предполагаем, что все компоненты вектора х (/)
эквивалентны в смысле их вклада в энергию движения. Обобщение получается
путем замены скалярного произведения в
(31.6.1) на
х (/ + т)- Вх (t), (31.6.3)
где В-положительно определенная матрица, вводимая из физических
соображений таким образом, чтобы выражение (31.6.3) представляло энергию.
2. Если спектр "непрерывен", т. е. функция S (ю) абсолютно непрерывна,
что имеет место тогда, когда R (т) достаточно быстро стремится к нулю при
т-"-[-оо, то спектральная плотность
328
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
получается как обычное преобразование Фурье:
ао
S'(со) = [1/(2я)] ^ R(x)etwtdx. (31.6.4)
- се
В численных расчетах R (•) задается только для некоторых дискретных
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed