Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
простыми и гладкими, но, несмотря на это, они отражают определенные
характерные свойства непредсказуемости и хаотичности на совсем ранних
стадиях.
31.1. МОДЕЛЬ ЛАНДАУ -ХОПФА
Схематически эта модель перехода описана в книге Ландау и Лиф-шида
[1954]. Предполагается, что хотя бы для некоторых задач существует
последовательность закритических бифуркаций, схематически образующих
дерево, изображенное на рис. 31.1. После первой бифуркации движение в
общем случае является периодическим, после второй оно в общем случае
будет квазипериодическим с двумя периодами и т. д. Квазипериодическая
функция с т перио-
31.1. Модель Ландау - Хопфа
319
дами имеет вид
.f(t) = g(<Alt, сo2t (c)"0. (31.1.1)
где функция g(-, -, ..., •) периодична по каждому из своих аргументов с
периодом 2я, а частоты со,- несоизмеримы, что означает необращение в нуль
линейной комбинации -f-... -f- ста>т с рациональными коэффициентами с±,
..., ст, если хотя бы один из них отличен от нуля. Если со^ ..., <от
соизмеримы, то число
R
независимых частот меньше т. Предположим, например, что т = 2 и (Oj/coj
=plq, где р и q-целые числа. Тогда для
t0 = 2n(q/(s>1+plti>2) (31.1.2)
будем иметь <01?с=4я(7 и со2^=4я^, так что f(t) -это периодическая (а не
только квазипериодическая) функция с периедом, равным величине (31.1.2).
В последнем параграфе предыдущей главы было показано, что если первая
бифуркация приводит к замкнутой траектории, то вторая может привести к
притягивающему инвариантному тору в фазовом пространстве Н. Если, кроме
того, движение таково, что его траектория плотно покрывает тор, то
результирующие функции времени (такие, как одна из координат в фазовом
пространстве)
320
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
будут квазипериодическими с двумя периодами. Точнее говоря, на торе можно
определить две внутренние угловые координаты 0 и ф так, что 0 = a>iH-
const, 9=a>2H-const, и траектория плотно покроет тор тогда и только
тогда, когда a>i и coa несоизмеримы. После следующей бифуркации может
возникнуть движение на трехмерном торе и т. д.
Реальный выбор ветви дерева, изображенного на рис. 31.1, зависит от
структуры инфинитезимального возмущения, вызывающего отклонение от
основного или ламинарного течения в тот момент, когда число Рейнольдса
достигло первого критического значения. В более общем случае фазы,
связанные с различными частотами, случайным образом зависят от такого
возмущения, так что
(31.1.1) лучше переписать в виде
f(t) = g(d)1t + fii co^ + pj. (31.1.3)
Идея, отражаемая моделью Ландау - Хопфа, состоит в том, что при наличии
многих независимых частот движение в момент своего зарождения столь
иррегулярно, что с точки зрения приложений оно должно рассматриваться как
хаотическое.
В ряде случаев эта модель может оказаться неподходящей.
1. Одна из бифуркаций в изображенной на рис. 31.1 последовательности
может быть докритической; тогда непосредственно после превышения числом
Рейнольдса соответствующего критического значения для системы не найдется
близкого к устойчивому движения, а будет иметь место так называемый
взрывной переход к движению, связывающему более или менее отдаленные
части фазового пространства.
2. Для некоторых задач, таких, как течение в круглой трубе, основное
течение устойчиво по отношению к инфинитезимальным возмущениям при всех
числах Рейнольдса, но неустойчиво по отношению к конечному возмущению
довольно небольшой амплитуды, и с ростом числа Рейнольдса характеризующая
наступление неустойчивости амплитуда уменьшается, приближаясь к нулю, так
что практически не удается получить устойчивое течение из-за наличия
малых, но конечных возмущений.
3. Хотя при второй бифуркации обычно появляется инвариантный тор,
траектория не обязательно будет плотно покрывать его; она может вернуться
в свою первоначальную точку после конечного числа оборотов вокруг оси
тора; тогда траектория будет замкнутой, а движение периодическим, как уже
отмечалось в § 29.11. В действительности на основании теоремы Пейксото
(см. приложение к этой главе) теперь создается впечатление, что замкнутые
траектории на торе менее вероятны, чем плотно покрывающие его. Это может
указывать на справедливость модели Фейгенбаума (см. §31.19).
4. Ситуация, обсуждавшаяся Рюэлем и Такенсом [19711, заключается в том,
что после нескольких бифуркаций в фазовом прост-
31.2. Пример Хопфа
321
ранстве появляется инвариантное множество точек, которое представляет
собой не тор, а так называемый странный аттрактор; тогда, как это
объясняется ниже, движение будет не квазипериоди-ческим, а
апериодическим.
31.2. ПРИМЕР ХОПФА
В 1948 г. Хопф привел пример простой динамической системы, у которой
имеется бесконечная последовательность бифуркаций, причем каждая из них
приводит к притягивающему тору размерности на единицу большей, чем у
предыдущего. Пусть и(х, t) и г(х, t) - комплекснозначные в общем случае
функции вещественных переменных х и /, периодические по х с периодом 2л.
