Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой группу, называемую полупрямым произведением групп Н и
К (или группы Н по группе К), и обозначается через Н х ХК.
Основные свойства полупрямого произведения кратко рассмотрены в
приведенных ннже упражнениях. Читателю настоятельно рекомендуется
выполнить эти упражнения, поскольку в них устанавливается, что данное
выше определение, несмотря на кажущуюся достаточно произвольной
формулировку, содержит все необходимое, чтобы придать этому полупрямому
произведению все желательные свойства.
18.15. Прямое и полупрямое произведения групп
33
Упражнения
3. Покажите, что единицей группы G = # Хх^Г является пара (е, е'), где е
и е'-единичные элементы Н и К.
4. Покажите, что элемент (x(k~1)h~1, й-1) является обратным (т. е. и
левым, и правым обратным) элементу (h, й).
5. Покажите, что в группе G справедлив закон ассоциативности.
Предостережение: т (й) - это не то же самое, что [т (k) frj h2, потому
что т (к) -
отображение, а не элемент группы. Упражнения 3, 4 и 5 показывают, что G
является группой, как и утверждалось в определении полупрямого
произведения.
6. Теперь отождествите И и К с подгруппами {(h, е'): все h принадлежат Н}
и {(е, к): все к принадлежат К) соответственно и покажите, что Н -
нормальная подгруппа группы G.
7. Постройте факторгруппу G/Н и покажите, что она изоморфна подгруппе К.
8. Наоборот, допустим, что группа G содержит подгруппы П и К, одна из
которых (Н) является нормальной, причем Н Р) /С = {е} и факторгруппа G/Н
изоморфна подгруппе К', покажите, что в этбм случае G есть полупрямое
произведение, т. е. Н X гК, где для любого k ? К т (к) является
отображением h-* khk"1 для всех h из П.
9. Покажите, что полупрямое произведение равно прямому произведению Н х К
в том и только том случае, когда т (й) = / [т. е. гомоморфизм к -*¦ т (к)
группы К в группу автоморфизмов группы Н отображает все элементы группы К
в единичный элемент (тождественное отображение группы Н на себя)].
10. Покажите, что подгруппа К, также как и Н, является нормальной
подгруппой группы G тогда и только тогда, когда т(й)==/, т. е. в том и
только том случае, когда произведение является прямым.
Упражнение 8 показывает, что автоморфизмы т(й), которые фигурируют в
прямом произведении двух заданных групп Н и К, суть внутренние
автоморфизмы группы Н х ХК. Этот факт не совсем понятен в случае группы
движений G при использовании аддитивных обозначений для группы трансляций
S'. Если же трансляцию х->-х'=х + | обозначить через и использовать
мультипликативные обозначения, так что (|, М) будет просто результирующей
операцией Т^М, то Т= МТ^М-1. Таким образом, автоморфизм t(7W): \-имеет
вид
т (М): ТЧ-^МТУИ-1,
и, значит, является внутренним автоморфизмом группы G.
В соответствии с предыдущим параграфом группа трансляций некоторой
кристаллической структуры, заданная при помощи
(18.14.2), является нормальной подгруппой пространственной группы Gs и
точечная группа Gp изоморфна факторгруппе Gs/S~ [напомним, что точечная
группа есть группа всех вращений и отражений х-"Мх, таких, что (|, М)
принадлежит Gs для некоторого |]. Группа Gs может как содержать, так и не
содержать, подгруппу (скажем, Gp), изоморфную Gp\ если Gs содержит такую
подгруппу, то и Gp могут иметь единственный общий элемент-единицу группы
е, поскольку все другие элементы группы S' имеют бесконечный порядок
(если Т G.S~, то Ттф1 для
34
Гл. 18. Элементарная теория групп
всех тф0), тогда как элементы группы Gp имеют конечный порядок.
Следовательно, согласно упражнениям 5 и 6, Gs содержит такую подгруппу
тогда и только тогда, когда она сама является полупрямым произведением
хтGp. В таком случае кристаллографы называют пространственную группу
симморфной.
Кристаллограф, приступающий к анализу множества данных по отражению
рентгеновских лучей для определения кристаллической структуры, часто
заранее знает точечную группу (исходя из
'<Ц7//////\ %
ф/шА
*г/Т$А srff/,
а
Рис. 18.3.
результатов измерения углов между гранями кристалла и плоскостями
спайности, а также из других макроскопических свойств кристаллов). Однако
он не может допускать, что рассматриваемая пространственная группа
содержит экземпляр этой точечной группы, т. е. допускать, что
пространственная группа симморфна.
Простой пример несимморфной пространственной группы в двух измерениях
дает функция f(x, у), равная 1 в заштрихованных треугольниках на рис.
18.3 и равная 0 в остальной части плоскости. Используя комплексные
обозначения, видим, что пространственная группа порождается трансляциями
z -*¦ z+а, 2_->- г+ -НР и так называемыми скользящими отражениями г->-
г+а/2. Следовательно, точечные группы содержат отражения г -*¦ г, тогда
как пространственная группа не имеет этих элементов.
Полупрямое произведение Н х ХК является примером так называемого
расширения группы Н при помощи группы К. Более полное обсуждение
расширений групп см. в книге Куроша [1967, гл. 12] или в книге Редей
