Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, для интервала значений Rь при которых экспериментально
наблюдаются вихри Тейлора, экспоненциальный рост собственного колебания
(30.1.3) благодаря влиянию нелинейностей происходит лишь до некоторой
конечной амплитуды.
Последующие более тонкие теоретические и экспериментальные исследования в
общем подтвердили результаты Тейлора. Однако Тейлор рассматривал только
осесимметричные возмущения, а Крюгер, Гросс и Ди Прима [1966] показали,
что в случае противоположно вращающихся цилиндров при достаточно больших
по модулю значениях отношения Q2/Qi (выходящих за ту область, которая
экспериментально изучалась Тейлором) собственное колебание, которое
первым становится неустойчивым, не является осесимметричным, а зависит от
угла по закону е1тЬ, где т, возрастая, принимает значения 1, 2, 3, ... по
мере роста по модулю отношения Q2/Qi. Следовательно, левая часть кривой
на рис. 30.1 должна быть опущена вниз, но весьма незначительно, так как
устойчивость собственного колебания в случае сравнительно близко
расположенных цилиндров (гу!г2'=0,880), изучавшемся Тейлором, очень слабо
зависит от т.
Эти предварительные выводы были экспериментально подтверждены Снайдером
[1970], который показал также, что если возникают неосесимметричные
собственные колебания, то они являются винтовыми. (В рамках линейной
теории нельзя отличить винтовые вихри от волнистых кольцевых вихрей; все
четыре собственных колебания, содержащие e±iaze±ime, одинаково возможны и
при своем объединении дают вещественную зависимость либо вида cosazcosm(r)'
либо вида ^""(аг ± тв), и только нелинейная теория позволяет сказать,
какая из этих возможностей реализуется.
За последние десятилетия при помощи нелинейной теории, разрабатывавшейся
Дэви [1962], Дэви, Ди Примой и Стюартом [1968] и Иглзом [1971], удалось
понять структуру и устойчивость вихрей Тейлора с конечной амплитудой,
вторую бифуркацию к волнистым вихрям и структуру и устойчивость волнистых
вихрей, как это будет описано ниже.
Для задач, подобных этой, когда имеется последовательность бифуркаций,
теория представляет собой идеальное чередование
80.2. Построение инвариантных многообразий
307
линейного и нелинейного анализа. После каждой бифуркации структура и
амплитуда нового течения находятся с помощью нелинейного анализа. Затем
его устойчивость исследуется путем линеаризации уравнений в окрестности
этого нового течения и изучения роста инфинитезимальных возмущений, чтобы
найти следующую бифуркацию, и т. д.
30.2. ПОСТРОЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИИ
В этом параграфе мы опишем в общих чертах метод построения неустойчивого
многообразия, разработанный упомянутыми выше авторами на основе более
ранней работы Стюарта и Ватсона.
Возьмем эволюционное уравнение в виде (29.4.3); тогда собственные
значения и собственные функции линеаризованной задачи будут удовлетворять
уравнениям
А,уМфу = 1фу (/ = 1, 2, ...). (30.2.1)
Как и в § 29.6, будем считать, что система функций фу полна в Н, а
сопряженные функции, удовлетворяющие уравнениям
TjM% = -L% 0 = 1,2,...), (30.2.2)
образуют по отношению к фу биортогональную систему в том смысле, что
(Ху, Мф*) = 6у*. (30.2.3)
Пусть неустойчивое многообразие М является /(-мерным, и пусть координаты
точки и € М, как и в § 29.7, получаются путем проектирования на М0, а
именно
хк - (%к^Ми) (* = 1. К). (30.2.4)
Поэтому для и С М
к
u='?xktyk + u', (30.2.5)
к = \
где вектор и' ортогонален Xi> Хк> т- е-
(X*. Ми') = 0 (А = 1,2..........К). (30.2.6)
Нам нужно найти функцию и(хг хК), или, для краткости, и (х), со
значениями в Н, которая дает точку из М с координатами хг, ..., хК хотя
бы в некоторой окрестности нуля. Предположим, что эта функция является
аналитической и, следовательно, может быть представлена в виде степенного
ряда:
и(х) = 2 хчцч, <qe je)
(30.2.7)
308__________Гл. 30. Инвариантные многообразия в задаче
Тейлора
где х и q суть /С-мерные векторы и суммирование проводится по множеству
3? = \q: каждое q(-неотрицательное целое и хотя бы одно
?,>0}, (30.2.8)
хч-сокращенное обозначение произведения . .. хч?, а каж-
дый коэффициент Uq является элементом из Н.
Согласно (30.2.5) и (30.2.6), коэффициенты uq линейных членов в (30.2.7)
- это первые К собственных функций г|у, ..., фд., тогда как остальные uq
ортогональны ул, ..., %к в смысле
(30.2.6). Эти последние uq не являются собственными функциями, а
удовлетворяют некоторым неоднородным уравнениям, которые будут приведены
ниже; поэтому (30.2.7) не будет разложением по собственным функциям.
Предположим, что функции из (29.7.4), описывающие динамическую систему в
М, также аналитичны и могут быть разложены в степенные ряды по xt, ...,
хк, так что
*,= 2 ЩрХ" (/=1, . •К), (30.2.9)
(р 6 JS)
где а,-р-скалярные коэффициенты.
Из (30.2.7) и (30.2.9), используя правило дифференцирования сложной
функции, найдем u - du/dt, а затем подставим и и и в эволюционное
уравнение (29.4.3) и будем рассматривать этот результат как тождество по
