Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантной относительно Ф.
Доказательства сходимости и ограничений на р слишком длинны и поэтому
опущены, за исключением немногих утверждений и формул, приведенных в
приложении к этой главе. Показывается, например, что при малом р кольцо
7зг.< г <•/./¦" (29.10.11)
отображается Ф в меньшее кольцо
(2/з + 5/27р) г0 < г' < (*/з-5/27р) г0. (29.10.12)
Это подтверждает тот факт, что Ф-сжимающее отображение. Показано также,
что если
Д" =" max |г"+1 (6)-гп (0) |
(0)
- максимальное радиальное перемещение кривой <Sn под действием Ф, то
ДП+1<^Д", (29.10.13)
где константа К < 1, если р достаточно мало. Наконец, показывается, что
при достаточно малом р
| drn (0)/d01 < р для всех п и всех 0, (29.10.14)
так что предельная кривая будет по меньшей мере непрерывной по Липшицу.
Наконец, рассмотрим трубку в /С-мерном пространстве М, состоящую из
траекторий, которые начинаются в точках кривой Эта трубка соединяется
сама с собой, образуя замкнутую поверхность, когда траектории
возвращаются на поверхность S, где они
302
Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчиовсти
снова проходят через кривую ёТакая поверхность гомеоморфна тору, а не
бутылке Клейна, поскольку при замыкании трубки ориентация кривой
сохраняется [последнее следует из определения отображения Пуанкаре
(29.10.9), (29.10.10), откуда
видно, что 0' является возрастающей функцией 0].
Мы не утверждаем здесь, что любая отдельная траектория плотно покрывает
получившийся тор и, следовательно, является квазипериодической функцией
времени. В самом деле, в гл. 31 будет объяснено, что в силу теоремы
Пейксото это представляется в общем случае маловероятным.
29.11. СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ
В предыдущем параграфе уже отмечалось, что если а (R) при возрастании R
пересекает единичную окружность |а|=1 в точке, являющейся корнем из
единицы степени менее 6, то изложенным методом нельзя обосновать
существование инвариантного тора. В этом случае бифуркация может привести
к одной или нескольким дополнительным периодическим траекториям.
Мы рассмотрим только простейшую ситуацию, когда высшие члены в
отображении (29.10.4) в основном уже отсутствуют и, следовательно, нет
необходимости их исключать. Положим а= =ехр {2m'p/q}(q^5) и возьмем
отображение вида
z'=az(l+p|z|2) (Р вещественно и отрицательно) или, в полярных
координатах,
е.1еХГ,Г' ,С'<0)'
В этом случае на расстоянии л0 = Кр/(-сг) (на поверхности S) от старой
траектории образуются новые траектории, которые будут замкнутыми, потому
что после ^-кратного применения отображения Пуанкаре каждая точка
окружности г = г0 переходит сама в себя. При малых положительных р,
старая траектория неустойчива, если сг < 0, а новые траектории устойчивы.
Когда р, возрастая, проходит через 0, период рассматриваемой траектории
скачкообразно увеличивается в q раз.
В этом случае результатом бифуркации может быть еще и инвариантный тор,
хотя наш метод его нахождения теперь уже непригоден. В рассмотренном выше
примере такой тор существует, так как окружность л(0)=ло является
инвариантной.
И наоборот, даже когда удается обосновать существование инвариантного
тора, на кривой ё ^ могут найтись такие точки, которые будут инвариантны
относительно некоторой степени отображения Пуанкаре и тем самым будут
порождать замкнутые траектории на этом торе.
Прилож. к гл. 29. Построение инвариантного тора
303
Приложение к главе 29.
НЕКОТОРЫЕ ДЕТАЛИ ПОСТРОЕНИЯ ИНВАРИАНТНОГО ТОРА
Сначала рассмотрим вопрос об определении входящих в (29.10.5) и
(29.10.6) коэффициентов q>i/n по заданным коэффициентам qjk из (29.10.4)
- это необходимо для приведения отображения Пуанкаре к нормальной форме
(29.10.7). Как отмечалось в тексте, для этого нужно подставить (29.10.5)
-
(29.10.7)(29.10.4) и, получив таким образом тождество относительно
степеней ? и ?, приравнять затем полные коэффициенты при в правой
и ле-
вой его частях. При (р, q) = (0,0), (1,0) и (0,1) получившиеся уравнения
удовлетворяются автоматически. Следующие 12 уравнений располагаются в
такой последовательности:
(р, q) = (2, 0), (1, 1), (0, 2),
(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0,3),
(4, 0), (3,1), (2, 2), (1,3), (0, 4),
и в этой же последовательности из них находятся коэффициенты (рpq\ тогда
ФРд будет неизвестным только в том уравнении, в котором он впервые
появляется, а это уравнение имеет вид
ъРаЧ<рд+ . • • = a<?pq+
Отсюда можно найти ypq, за исключением того случая, когда
аРа? = а.
Так как p+q > I, последнее верно лишь тогда, когда |а| = 1 и при этом
а1 Р-7-1 1 = 1_
Если р-q - 1 ф 0, то последнее равенство выполняется только тогда, когда
а является корнем степени | р-q-1 | из единицы, откуда и следуют
ограничения (29.10.8). Случай р-q -1=0 имеет место только при (р, q) =
(2,1); это уравнение не может быть разрешено относительно ф2х, если |а| =
1, но зато из него можно определить |3; следовательно, мы просто положим
ф21 = 0.
Приведем также, опуская доказательство, некоторые ограничения на ц,
