Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
окружности. Когда R возрастает, замкнутая траектория теряет устойчивость
при R>R2; следовательно, при R = R2 имеет место новая бифуркация.
Согласно § 29.7, при R> R2 отображение Ф в V имеет двумерное инвариантное
неустойчивое многообразие или поверхность S в V, касающуюся в точке |
линейного многообразия S0, натянутого на векторы v и v. Чтобы сделать
наши рассуждения более наглядными, будем считать поверхность V двумерной;
тогда S = V и S инвариантна относительно Ф; следовательно, можно считать
Ф отображением в S. Пусть и и v-такие вещественные координаты в S, что
проекция элемента х-1 из S на S0 равна (u-\-iv)\ + (u- iv)v, и пусть z =
M + iw. Тогда отображение Пуанкаре примет вид г-*-z' =az + члены высших
порядков, или, точнее,
где qJk-некоторые коэффициенты (в общем случае комплексные), а
суммирование происходит по всем целым неотрицательным / и k, для которых
j -\-ky 1.
При определенных дополнительных предположениях будет показано, что при R>
R2 существует почти круговая инвариантная замкнутая кривая % в S,
обходящая точку ?. Пусть теперь % переносится течением в Ж; тогда она
покинет V и начнет описывать инвариантную трубу в М, которая затем
замкнется, образовав тор, когда % снова окажется на поверхности V вблизи
точки ?.
Чтобы облегчить анализ отображения Пуанкаре, удобно ввести в S вместо и и
и новые координаты i и ц. Выберем эти координаты так, чтобы привести
отображение Пуанкаре к настолько простой, насколько это возможно, форме
(нормальной форме), т. е. чтобы исключить в (29.10.4) некоторые
нелинейные члены. При \о.\ф\ можно исключить столько нелинейных членов,
сколько представляется нужным (см. книгу Зигеля [1956, § 21]), но, чтобы
при прохождении R через значение R2, когда [а(/?)|=1, искомое
преобразование не имело особенности, нужно в (29.10.4) оставить член
ад1гг2г; таким образом, можно исключить все остальные члены по-
Ia (#2) I = * Для некоторого R2 > Rit d\a(R)\/dR |д=д,>0,
(29.10.2)
(29.10.3)
(29.10.4)
300
Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
рядка не выше 4. (В принципе можно было бы исключить все члены порядка не
выше 6, оставив лишь член aqttz3z2, и т. д., но исключение членов порядка
не выше 4 - это в точности то, что необходимо нам для проведения
анализа.) Перейдем к представлению ?=?+й] с помощью равенств
г=*=? + 2 Ф(29.10.5)
1 + т=2
z'=Z'+ 2 (29.10.6)
l + m-2
и выберем в них коэффициенты срг" таким образом, чтобы после подстановки
этих соотношений в (29.10.4) отображение Пуанкаре приняло нормальную
форму
^?'=о?(1+Р|?|2) + 0(?3), _ (29.10.7)
где О (?5) содержит члены степени 5 и выше по ? и ?, a (J-новая
постоянная. Чтобы выразить коэффициенты (р1т через заданные коэффициенты
q,k, подставим в правую часть (29.10.4) в качестве г правую часть
(29.10.5), затем подставим в правую часть (29.10.6) в качестве ?' правую
часть (29.10.7) и подставим этот результат в качестве г' в левую часть
(29.10.4). После этого (29.10.4) станет тождеством по ? и ? и в нем
полный коэффициент при ZPQ можно приравнять нулю. Получившиеся таким
образом уравнения, если их расположить в правильном порядке, могут быть
разрешены относительно коэффициентов фгст при условии, что
а, а2, а3, а4 и аъ. не равны 1, (29.10.8)
как это объясняется в приложении к данной главе. (Уравнение, получающееся
при р = 2 и <7=1, не может быть разрешено относительно ф21, если |а| = 1,
но оно всегда разрешимо относительно Р, и мы просто положим ф21 = 0.)
Для успешного применения этого метода мы должны предположить, согласно
(29.10.8), что, когда при возрастании R точка a(R) пересекает единичную
окружность |а| = 1 в комплексной плоскости, она не совпадает ни с
одним из корней из единицы
степени меньше 6. Тот случай, когда она совпадает с одним из
этих корней, кратко обсуждается в следующем параграфе.
Введем вместо R новый безразмерный параметр р = |а(7?)|- 1 и используем
полярные координаты г и 0, в которых ? = ге10; тогда отображение Пуанкаре
примет вид
I г' = (1+р)г + с1г3 + /(г, 0) г6, (29.10.9)
: \ e' = e + c2 + c3r* + g(r, 0) г\ (29.10.10)
где f и g-гладкие функции, a с2, cs, f, g гладко зависят от р в некоторой
окрестности значения р = 0.
29.10. Бифуркация к инвариантному тору
301
Константа ct играет роль постоянной Ландау: если с4<0 (именно это мы и
предположим), бифуркация будет за критической.
Если в (29.10.9) не учитывать член высшего порядка малости, содержащий
/(г, 0), то кривая для которой г = г", где
г0 =Кр/(-Ci),
была бы при р > 0 инвариантной относительно отображения Пуанкаре. Она
концентрична с замкнутой траекторией, изображенной на рис. 29.7;
следовательно, при своем движении по течению в М она образовала бы тор.
Чтобы учесть влияние отброшенного члена, определим последовательность
кривых
\г = гп{% О<0<2я)
по индукции, начиная с и полагая далее #"+i =Ф (#"). Можно показать, что
для достаточно малых р (т. е. для достаточно малой разности R-R2) эти
кривые сходятся при п-<-оо к предельной кривой которая и будет
