Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 123

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 162 >> Следующая

это, так что М может быть описано как состоящее из таких обратимых
движений, для которых "(/)->-0 при t-*--оо.
В § 29.10 нам потребуется другая трактовка неустойчивого многообразия,
которая связана скорее с отображениями, чем g потоками. Вместо семейства
отображений "-*-ф(", t) в гильбертовом пространстве, зависящих от
непрерывного параметра t, рассмотрим семейство отображений х Фт (х) в "-
мерном много-
294
Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
образии Ж, зависящих от дискретного параметра т и определяемых с помощью
итераций Ф:
Фт(х) = Ф(Ф(.. .Ф(х)...)) (т итераций).
Предположим, что х = 0 - неподвижная точка Ф. После линеаризации в малой
окрестности нуля получим
Ф (х) = Мх + члены высшего порядка,
где М-матрица размера пхп. Если собственные значения сх1, .ak (k < ti)
матрицы М лежат вне единичной окружности | а | = 1 и им соответствуют
независимые собственные векторы ух, ..., vft, а все другие собственные
значения лежат внутри единичной окружности, то существует й-мерное
инвариантное многообразие N, лежащее в Af и касающееся в нуле линейного
многообразия Ый, натянутого на векторы vf, ..., \k (см. книгу Абрахама и
Роббина [1967] или статью Смейла [1967]).
Замечание о вещественных и комплексных гильбертовых пространствах. В
соответствующем гидродинамической системе гильбертовом пространстве Н для
функций р, и, v, w (давления и компонент поля скоростей) приходится
допускать комплексные значения, тогда как для физических течений они
вещественны, и поэтому физические решения должны лежать в вещественном
подпространстве //" пространства Н. Так как уравнения Навье- Стокса
вещественны, собственные значения линеаризованной задачи либо
вещественны, либо образуют комплексно сопряженные пары. Можно считать,
что собственная функция фй вещественна, если вещественно Кк, и что фй и
фй,, являются комплексно сопряженными, если таковыми являются Кк и Кк>.
Тогда в представлении и = 2 сйфй элемента из Н нужно считать ск
вещественными для вещественных Кк и комплексно сопряженными для
комплексно сопряженных Кк - при этом и будет принадлежать #0. При таком
подходе многообразие Ж будет вещественной /(-мерной поверхностью,
касающейся в нуле вещественного линейного подпространства Ж0сЯ0, а
координаты хк в Ж, задаваемые при помощи (29.7.3), также либо будут
вещественными для вещественных Кк, либо хк = хк., если Кк = Хк,.
29.8. БИФУРКАЦИЯ К НОВОМУ СТАЦИОНАРНОМУ СОСТОЯНИЮ
В более простой из двух классических теорем Хопфа о бифуркациях
предполагается, что одно простое вещественное собственное значение Я1(R)
переходит в правую полуплоскость (т. е. проходит через нуль) в тот
момент, когда число Рейнольдса, увеличиваясь, проходит через критическое
значение Rc. Итак,
29.8. Бифуркация к новому стационарному состоянию
295
R
А
R
А
R
А
К
Рис. 29.5.
пусть
Xi(Rc) = 0, *4 (/?,)- Р>0. (29.8.1)
В этом случае неустойчивое многообразие одномерно, а описывающая движение
система (29.7.4) сведется к одному уравнению
x = F(x\ R), (29.8.2)
в котором у х опущен нижний индекс 1 и учтена зависимость
от R. При помощи (29.7.5) и (29.8.1) это уравнение можно пере-
писать в виде
х = |3 (R-Rc) х + члены высшего порядка. (29.8.3)
Стационарные траектории *=0 представляются точками кривой F (х\ R)=0 в
плоскости х, R. Это геометрическое место точек состоит из отрезка оси R и
кривой, проходящей ¦*- ^ через точку х=0, R=RC; три возмож- •*" ных
случая представлены на рис.
29.5, а, б и б.
Если следующий по порядку малости член в (29.8.3) равен ах2, то имеет
место несимметричная бифуркация; если он равен ах3, то бифуркация
симметрична - она будет зак-ритической при а<С0 и докритической при а>0.
Устойчивость определяется знаком х в точках вблизи кривых. Например, на
рис. 29.6 показано стрелками движение точек в
Рис. 29.6.
296 Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
плоскости х, R в случае несимметричной бифуркации. Во всех случаях
восходящие ветви устойчивы, а нисходящие нет, тогда как решение х=0
всегда неустойчиво при R)>R,..
В докритической бифуркации, которую иллюстрирует рис.
29.5, в, нет устойчивого равновесия в окрестности решения х=0 при Если
в этом случае R, очень медленно возрастая,
проходит через Rc, то типичная траектория переводит систему из точки х"0
в далекие точки конфигурационного пространства за относительно короткий
промежуток времени, как только R превышает Rc. Это явление называется
взрывным переходом и противоположно переходу в виде адиабатической
последовательности устойчивых состояний, которые характеризуют траекторию
в других случаях.
29.9. БИФУРКАЦИЯ К ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ
Во второй классической теореме Хопфа о бифуркациях предполагается, что
одна пара комплексно сопряженных собственных значений переходит в правую
полуплоскость в тот момент, когда R, увеличиваясь, проходит через Rr., а
все остальные собственные значения находятся в левой полуплоскости. Пусть
переходят значения
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed