Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
точку пространства V, имеющего размерность п'\ Для существования у
матрицы А обобщенного собственного вектора необходимо, чтобы ее
характеристическое уравнение
def
р(Х-, Л) =* det (Л - U) = 0 (29.6.6)
имело кратный корень, т. е. такой корень, который одновременно
удовлетворял бы уравнению
dp (К- A)/dX = 0. (29.6.7)
Исключив X из (29.6.6) и (29.6.7), можно получить алгебраическое
уравнение, которому должна удовлетворять матрица А\ следовательно, только
матрицы А, принадлежащие некоторой поверхности в пространстве 1/, т. е.
некоторому множеству меры нуль, могут иметь обобщенные собственные
векторы.
Мы будем предполагать, что оператор L имеет только обычные собственные
функции.
Между прочим, для задач, решаемых численно в гильбертовом пространстве,
нетрудно проверить возможность существования обобщенных собственных
функций. Б.сли решено уравнение /л|; = М[), а затем для какого-либо из
найденных X получены решения сопряженного уравнения L*y = Xy и при этом
оказалось, что (у, ф) Ф 0, то не существует обобщенных собственных
векторов, соответствующих этому собственному значению X *).
!) Анализируя численное значение скалярного произведения, не следует
забывать о приближенном характере вычислений,-Прим. перев.
290 Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
Для задач гидродинамики собственные значения лежат главным образом на
вещественной отрицательной полуоси или вблизи нее, а точнее, в области,
ограниченной параболой
ReX^c0-Cj(ImX)2 (с? > 0);
Со обычно возрастает с возрастанием числа Рейнольдса R, но при любом R
только конечное число собственных значений лежит в правой полуплоскости.
Поскольку уравнения Навье - Стокса вещественны, собственные значения либо
вещественны, либо образуют комплексно сопряженные пары.
29.7. ПРИВЕДЕНИЕ К КОНЕЧНОМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Для изучения начальной стадии турбулентности нет необходимости знать все
траектории системы (29.4.1) в гильбертовом пространстве Я. Достаточно
рассмотреть одно специальное семейство траекторий, которые, согласно
приводимым ниже физическим соображениям, принадлежат так называемому
неустойчивому многообразию, возникающему в Я из нуля в момент бифуркации.
Движения в этом многообразии образуют конечномерную динамическую систему.
Эта идея была использована Дэви, Ди Примой и Стюартом
[1968], а также Рюэлем и Такенсом [1971].
Устойчивые и неустойчивые многообразия играют важную роль в теории
дифференцируемых динамических систем: см. работы Смейла [1967], Абрахама
и Роббина [1967], а также Келли [1967]. Большая часть теории берет начало
в небесной механике и не может быть непосредственно применена к нашей
задаче, потому что
I) динамические системы в небесной механике конечномерны с самого
начала, а в гидродинамике нет и 2) в первом случае они являются
гамильтоновыми, тогда как во втором строго диссипативными и их решения не
продолжаются, вообще говоря, в область отрицательных времен, так что
первые определяют поток в гильбертовом пространстве, а вторые - только
полупоток (однако см. книгу Селла [1971], где большая часть теории
сформулирована так, чтобы включались полупотоки). Наш подход в основном
интуитивный, но он опирается на физические соображения.
Предположим, что значение числа Рейнольдса длительное время
поддерживается постоянным и несколько превышающим первое критическое
значение; предположим далее, что для этого значения в правой комплексной
полуплоскости ReX>0 находится некоторое конечное число собственных
значений Хк линеаризованной задачи (k=\, ..., К), а остальные собственные
значения лежат в левой полуплоскости. Пусть в очень ранний период (при
больших отрицательных t), который мы назовем ранним линейным режимом,
было наложено произвольное, но очень малое возмущение, представляющее
собой линейную комбинацию всех собст-
29.7. Приведение к конечномерной динамической системе
291
венных колебаний (k изменяется от 1 до оо); с течением
времени (когда t еще отрицательно) в позднем линейном режиме вклад всех
собственных колебаний, за исключением первых К из них, становится
несущественным и возмущение можно будет записать в виде линейной
комбинации
к
(29.7.1)
fe* 1
где ah - постоянные коэффициенты; будем считать, что это возмущение все
еще достаточно мало, а входящие в него собственные функции возрастают
экспоненциально и независимо одна от другой. Еще позднее наступает
нелинейный режим развития возмущения (включающий "настоящий" момент
времени /=0), когда возмущение, продолжая расти, из-за нелинейности
теряет свою простую
форму (29.7.1) (хотя еще и остается зависящим от параметров #i> • • йд) и
может, например, переходить по спирали в замкнутую траекторию или иметь
другое сложное нелинейное поведение.
Если зафиксировать момент времени (например, положить t =0) и варьировать
значения параметров аъ ..., ак, то получившиеся точки будут лежать на /(-
мерной поверхности или многообразии М в гильбертовом пространстве и это
