Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
в Я П К существовал какой-либо другой элемент а, то существовали бы два
представления в виде hk, а именно ае и еа). Далее, Я и К - нормальные
подгруппы группы G, ибо если a = hk^-любой элемент из G, а А2-любой
элемент из К, то аА2а-'= АА^АДА-1, но он равен А^Аг1, поскольку h
коммутирует с любым элементом из /С; отсюда ak2a~1 принадлежит К и К <]
G; аналогично Я О G. Кроме того, факторгруппа G/Я изоморфна подгруппе К,
а G//C изоморфна подгруппе Я, так как любой элемент из G/Я является
смежным классом аН = {ah: h?H\ и может быть однозначно представлен как
смежный класс kH (где a = kh, k?K, h^H)-, ясно, что отображение k -> kH
есть изоморфизм групп К и G/Я, ибо k,Hk2H = kik2H.
Другая точка зрения состоит в допущении, что Я0 и К0- произвольные
заданные группы, и в построении группы G, называемой их прямым
произведением, следующим образом: элемен-' тами группы G являются пары
(A, k), где h . ? Я0 и А?/С0, а операция (закон композиции) определяется
так:
rte:
(Af, Aj)o(A2, A2)=(Ajh2, AtA2). (18.15.1)
Единичным элементом G является пара (е, е), где е и е -единицы групп Я0 и
/Со соответственно; обратный элемент (А, А)_1 = = (А-1, А-1). Пусть
теперь Я и К - подмножества элементов G, а именно
Я={(А, е')\ А ? ЯД, /С = {(е, А): А ?/<"}.
18.15. Прямое и полупрямое произведения групп
31
Легко проверить, что G, Н и К-группы, что Н и К-нормальные подгруппы
группы G, что Н^Н0, а К = К" и, наконец, что G = Н х К..
Упражнение
1. Проверьте сформулированные в последнем абзаце утверждения.
В силу изоморфизма Н ^Н0 и К^.К" группа G также называется прямым
произведением Н0 и /("; обычно практически Н0 и К0 отождествляют с
подгруппами Н и К и вообще опускают индекс 0.
Упражнение
2. Допустим, что единица е является единственным общим элементом двух
подгрупп Я и К группы 0. Покажите, что Л из Я коммутирует с любым k из К
тогда и только тогда, когда Я <] G и /С <] G.
В следующем простом случае (полупрямое произведение) все еще допускают,
что любой элемент g из G может быть выражен единственным образом в виде
hk, где h?H и k?K, но при этом предполагается, что Н <3 G, тогда как К не
обязательно нормальный делитель группы G. Тогда G называется полупрямым
произведением Н и К. Любой смежный класс подгруппы Н в G (т. е. любой
элемент факторгруппы G/Н) имеет однозначное представление kH = Hk, где k
принадлежит К\ более того, HkxHk2 = Hkxk2, и, значит, факторгруппа G/Н
изоморфна К. Если gt и g2, принадлежащие G, единственным образом
представляются в виде gx = hxkx и g3 = h2k2, то произведение g3=gxg2
единственным образом представляется в виде h3ka, где
h3 = hxkxh2kx , ka=k^k2.
(Заметим, что элемент kxh2kxl принадлежит Н, поскольку Н - нормальная
подгруппа, но этот элемент не обязательно равен h2, если только К не
является тоже нормальной подгруппой.)
Группа G всех движений в плоскости (или в л-мерном пространстве)
представляет собой пример полупрямого произведения. Движением является
преобразование
х -х'-Мх + 1, (18.15.2)
где М-вещественная ортогональная матрица размером 2x2 (или пхп) с
детерминантом, равным 1, а \-произвольный вектор. Группа G порождается
группой трансляций <?Г
х-^х' =х + | и группой Э1 вращений вокруг начала координат
х -> х' =Мх.
32
Г л. 18. Элементарная теория групп
[Операцией (законом композиции) в S' является векторное сложение -f|2, а
в группе Э1-матричное умножение М,М2. Здесь S' обозначает группу всех
трансляций, а не только трансляций решетки.] Комбинированное
преобразование (18.15.2) обозначается через (|, М), как и в
предыдущем параграфе, где было
показано, что операция в G задается правилом
(1,, Мх) О (1а, м2) = (1, +/^12, МГМ2). (18.15.3)
Если бы правая часть этого равенства имела вид (|х-Ы2, то группа G была
бы прямым произведением групп и i Значение члена Мх|2 для данных двух
групп состоит в следующем. Во-первых, для фиксированной матрицы М
отображение
для всех |
группы S' на себя есть автоморфизм [поскольку оно взаимно однозначно и
является отображением на всю группу (М обратима)] и отображает 1 + т)
на М1 + Мт); этот автоморфизм обозначается через т(М). Во-вторых,
когда М пробегает по всем
элементам Ж, построенные автоморфизмы образуют группу Л, которая является
подгруппой группы всех автоморфизмов группы трансляций S'. В-третьих,
отображение
М->-т(М) для всех Л1 ? Ж
есть гомоморфизм группы Ж на Л, так как если к произвольному элементу |
из S' применить автоморфизм т(Л1)! =
а к полученному образу применить автоморфизм %{N)\ ->¦ |"=УУ|',
то результатом будет отображение |-> NM\, а это значит, что т(Л0т(М) =
т(ЛШ).
Определение. Пусть Н и К - две произвольные группы (в обеих группах
операцию будем записывать в виде умножения), и пусть задан гомоморфизм k-
отображающий группу К в группу автоморфизмов группы Н [для заданного k
x(k) отображает h на т (k)h для всех к из Щ. Тогда множество всех пар
(/г, k), где h?H и k?K, с операцией над такими парами, задаваемой в виде
(ft,, kf) о (Я2, /e,) = (/ifT(fet)/i2, ktkt), (18.15.4)
