Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваемой задачи. Обычно предполагается, что R изменяется за счет
изменения v0 при неизменных v и размерах. Однако гидродинамические
уравнения инвариантны относительно изменений масштабов длины и скорости
(сохраняющих все отношения соответствующих длин и скоростей) и
относительно замены одной жидкости другой, если при этом не изменяется
значение R.
Задача Тейлора о течении между вращающимися концентрическими цилиндрами
(иногда называемая круговой задачей Куэтта) и задача Бенара о конвекции в
горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, представляют собой
наиболее изученные в настоящее время примеры возникновения
турбулентности.
29.2. ПРИМЕРЫ БИФУРКАЦИИ В ГИДРОДИНАМИКЕ
Сначала рассмотрим частный случай задачи Тейлора о течении между
концентрическими вращающимися цилиндрами, когда внешний цилиндр покоится.
При медленном вращении внутреннего цилиндра течение будет ламинарным: у
скорости жидкости отлична от нуля только компонента по 0 (л, 0 и 2 -
цилиндрические координаты), которая зависит только от г. По достижении
определенной критической скорости вращения это так называемое течение
Куэтта становится неустойчивым и на него накладывается возмущение,
состоящее из равномерно распределенных по пространству кольцевых вихрей,
как показано на рис. 29.1. Если А обозначает некоторую меру интенсивности
вихрей, скажем максимум компоненты скорости возмущения по г или по г, то
А зависит от угловой
29.2. Примеры бифуркаций в гидродинамике
285
скорости Q внутреннего цилиндра так, как это схематически изображено на
рис. 29.2, а. Два возможных знака А при заданном значении Q соответствуют
двум возможным направлениям вращения вихря, которые одинаково вероятны и
определяются начальными условиями (соседние вихри вращаются в
противоположных направлениях). Если Q лишь немного превосходит
критическую скорость Qx, то величина |А | приблизительно пропорциональна
1/Q-Qi.
Появление нового течения при Q=QX называется бифуркацией. В только что
описанном случае это бифуркация к другому стационарному течению: в
фиксированной точке пространства скорость жидкости не зависит от времени,
а кольцевые вихри являются устойчивыми и сохраняются до тех пор, пока
внутренний цилиндр не перестанет вращаться.
Когда будет превышено второе критическое значение угловой скорости Q2,
кольцевые вихри станут неустойчивыми и произойдет вторая бифуркация к
волнистым вихрям, схематически изображенным на рис. 29.3. Эти волнистые
вихри вращаются вокруг общей оси цилиндров примерно со средней угловой
скоростью жидкости в течении Куэтта. Следовательно, в
Рис. 29.1. Вихри Тейлора.
П
п
Рис. 29.2. Бифуркации в задаче Тейлора.
фиксированной точке пространства скорость жидкости будет теперь
периодической функцией времени. Если Л] обозначает амплитуду волн, то Ах
зависит от Q так, как это показано на рис" 29.2, б.
286
Г л. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
Возможно, более известным примером является бифуркация в течении за
круговым цилиндром. При небольшой скорости набегания жидкости на цилиндр
течение за ним будет ламинарным, но после превышения ею некоторого
критического значения оно станет неустойчивым и перейдет в так называемую
вихревую дорожку Кармана, в которой вихри образуются попеременно на двух
сторонах цилиндра (их оси параллельны цилиндру), а затем движутся вниз по
потоку со скоростью, примерно вдвое меньшей скорости окружающей жидкости.
В этом случае после первой бифуркации течение будет периодическим.
29.3. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ - СТОКСА
Уравнения Навье-Стокса, записанные через переменные поля скоростей
жидкости u (х, t) и поля ее давлений р (х, t) имеют вид
du/dt + (u- V) u + \р-vV2u = 0, (29.3.1)
V-u = 0. (29.3.2)
Рис. 29.3. Волнистые вихри в задаче Тейлора.
Они должны выполняться в некоторой области 54 физического пространства
вместе с граничным условием
и задано на <Э54 (29.3.3)
и надлежащим начальным условием. Здесь плотность принята равной единице
за счет выбора системы единиц измерения.
Пусть и(х), р(х) - некоторое стационарное решение этих уравнений,
соответствующее, например, течению Куэтта в задаче Тейлора. Для изучения
влияния возмущений (конечных или ин-финитезимальных) на это решение
удобно представить полные поля в виде
u(x) + u(x, 0, Р(х) + Р(х, О,
где и и р обозначают теперь отклонения от выбранного стационарного
решения. Эти отклонения удовлетворяют системе уравнений
du/dt -i-(u-У) u + (u- V)u -f (u- V) u-(-\p-vV2u = 0, (29.3.4)
Vu = 0, (29.3.5)
u = 0 на d 54, (29.3.6)
которая не является результатом линеаризации исходной задачи (она
нелинейна). Теперь известная функция и (х) входит в коэффициенты членов,
линейных по и.
29.5. Задача с начальными данными. Полупоток в Н
287
29.4. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Каждой задаче о гидродинамической устойчивости соответствует некоторая
эволюционная задача в банаховом (практически в гильбертовом) пространстве
Н, определяемая эволюционным уравнением
