Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
содержащей открытый круг (конечно, обязательно не содержащей граничную
окружность). Ее можно было бы взять в виде тонкой пластинки, но простоты
ради мы возьмем в качестве N все пространство IR4, в котором сделан
разрез по внешней части указанного открытого круга в плоскости х, у.
Для М3 Л^ = (все х, у, г, t\ - \x2Jrt/2 ^ a2, z = 0},
signp(x, у, z) = signz. (28.8.6)
Для Af, N то же, что и для Af3,
signp(x, у, г) - - signz. (28.8.7)
Карта Af3 согласуется с Aft при г > 0 и с Ж, при г < 0, в то время как
Af4 согласуется с Mt при z < 0 и с Af2 при z > 0. Двусвязное многообразие
Af0 можно теперь построить при помощи отображений
где каждое отображение на диаграмме совпадает с тождественным
отображением
t-+ t, х-+х, у-"у, г-*г
в соответствующем полупространстве (г>0 или г<0). В этом многообразии
любая точка может быть возвращена в исходное положение после двукратного
"навинчивания" на окружность х2+у2=а2, 2 = 0.
Данное многообразие Af содержит две асимптотически плоские области,
распространяющиеся на бесконечность: для обеих |р|^> ^>max {1, а}; для
одной р>0, а для другой р<0. Первая из них представляет (на больших
расстояниях) гравитационное поле некоторой положительной массы (равной Уг
в принятой системе
4) В оригинале branch cut.- Прим. перев.
278
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
единиц), а вторая - поле отрицательной массы (равной -Уг). Обе эти
области соединяются центральным кругом.
Рассмотрение геодезических показывает, что многообразие Мв геодезически
полно при |а|>Уг, но не полно при \а\<,Уг. Расширение этого многообразия
до большего и геодезически полного многообразия при \а\<Уг осуществлено
Бойером и Линдквистом
[1967]. Получающееся многообразие довольно сложное, и мы предлагаем
читателю ознакомиться с его описанием по указанной работе, а здесь
ограничимся аналогией между описанным выше многообразием М0 и картами
Финкельштейна.
Для исследования метрики на больших расстояниях (при больших р) удобно
ввести сферические координаты г, 0, ср, записывая 2 - г cos 0 и т. д. и,
как обычно, напоминая, что необязательно интерпретировать г как
радиальную координату. Для больших положительных р (28.8.3) показывает,
что р " г. Далее, из выражения (28.8.2) следует, что k^dx^ " dr-dt, а из
(28.8.1) в приближении р"г следует, что
ds2 = (1 + 1 /г) dr2-{¦ r2(d62 + sin20 dtp2)-(1 - 1/r) dt2-(2/л) dr dt,
а это и есть метрика (28.4.2) карты I Финкельштейна. Иначе говоря, в
пределе п = 0 форма (28.8.1) дает в точности карту 1 Финкельштейна;
следовательно, для малых а следует ожидать, что эту карту нужно будет
дополнить другой ее копией и двумя копиями некоторой карты, которая при й
= 0 сводится к карте II Финкельштейна, причем объединение этих карт
выполняется так же, как объединение карт Финкельштейна в случае
многообразия Крускала. Указанные карты получаются путем изменения знака
dt в формуле (28.8.2) для величины k^dx^.
В силу этого имеются два варианта многообразия Мв, полученных по схеме
(28.8.8) в соответствии со знаком dt в (28.8.2); обозначим их через Мв и
Мв ; оба они содержатся в геодезически полном многообразии, которое
построили Бойер и Линдквист.
28.9. ЗАДАЧА КОШИ
Задача Коши для уравнений Эйнштейна в пустом пространстве имеет одно
общее с задачей Коши для уравнений Максвелла свойство. Напомним, что два
уравнения Максвелла, а именно
V- Е = 0, V-H = 0, (28 9.1)
можно рассматривать как чисто начальное условие; если эти условия
выполняются при /=0, то из остальных уравнений
dE/dt = - cVxH, dH/d/ = cVxE (28.9.2)
28.9. Задача Коши
279
(этих уравнений будет шесть, если расписать их покомпонентно) следует,
что дивергентные условия (28.9.1) автоматически выполняются и для всех
С^О. Следовательно, полная система восьми уравнений оказывается
избыточной, так что в качестве эволюционных уравнений нужно рассматривать
только шесть уравнений
(28.9.2) с шестью неизвестными.
Уравнения поля Эйнштейна
ЯР7 = 0 (28.9.3)
обладают похожими свойствами, только с несколько другим результатом. Во-
первых, поскольку тензоры gPv и Riiy симметричны, мы можем брать в
качестве искомых функций только gPv с а поэтому и уравнения (28.9.3)
нужны только с Это со-
ставляет десять уравнений с десятью неизвестными. Мы убедимся в том, что
четыре из этих уравнений представляют собой просто начальные условия и
если они выполняются при t = x4 = 0, то автоматически выполняются и при t
> 0. В силу этого имеется только шесть независимых уравнений, описывающих
эволюцию десяти искомых функций; решение оказывается недоопределенным и
содержит четыре произвольные функции. Это в точности то, что и должно
быть. Действительно, задача с начальными данными, собственно говоря,
предназначена для определения геометрии пространства-времени для х4 > 0
или хотя бы для х4 ? (0, Т)\ однако геометрия не определяет функции g^v
однозначно, допуская возможность замены координат. Любое решение задачи с
начальными данными может быть изменено путем произвольного преобразования
