Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 114

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 162 >> Следующая

273
Под неустранимой особенностью (сингулярностью) понимается некоторая точка
или множество точек, где обращается в бесконечность некоторый инвариант
кривизны (т. е. некоторый скаляр, построенный по функциям и их
производным различного порядка). От особенности такого сорта нельзя
избавиться путем замены координат, потому что указанный скаляр, будучи
инвариантом, стремится к бесконечности в любой системе координат при
приближении к этой точке или к этому множеству точек.
Доказательство геодезической полноты многообразия Крускала элементарно,
но громоздко. Сначала показывается, что кривые г (и, и) = 0 на плоскости
и, и состоят из неустранимых особых точек. Нетрудно отыскать и скаляры
кривизны, стремящиеся к бесконечности при г (и, v) -> 0. Скалярная
риманова кривизна R таковым быть не может, поскольку R^O на К, однако
скаляр RafivdR^6, где Ra(,y6-тензор Римана, равен 6[г(ц, v)]~i и поэтому
стремится к бесконечности при г (и, v)->-0.
Значение функции г (и, v) на многообразии Крускала равно значению
координаты г на многообразиях Шварцшильда. Если г-полярная координата, то
в равенстве г = 0 видят представление одной-единственной точки. Однако на
многообразии Крускала уравнение г (и, ц) = 0 определяет целую кривую -
гиперболу, изображенную на рис. 28.4. В любом случае, однако, эта "точка"
или эта "кривая" не принадлежат ни многообразию К, ни какой бы то ни было
области описываемого пространства-времени. Вероятно, вопрос о том,
является ли особенность "точкой" или "кривой", не имеет физического
смысла.
Далее Крускал показал, что для геодезической % в К с произвольным л^(0) и
произвольным л^(0) г (и, v)->-0 на % либо при X->-Я0 для некоторого
конечного Х0, либо при X->- оо вдоль %. Следовательно, К-геодезически
полное многообразие. На карте I (или II) Шварцшильда имеются
геодезические, для которых г-> -I- 1, a t -* ± оо при конечных значениях
натурального параметра X. Поскольку X-физически осмысленный инвариант,
тогда как координаты г, 0, cp, t совершенно произвольны, представляется
очевидным, что должна быть возможность продолжения этих геодезических на
некоторые другие карты, и именно это достигается при расширении Крускала.
28.7. ДРУГИЕ РАСШИРЕНИЯ МНОГООБРАЗИИ ШВАРЦШИЛЬДА
Рассмотрим вместо преобразования (28.5.1), введенного Круска-лом,
следующее преобразование г, 0, <р и t в |, 0, <р и гр | = (г - \)ег,
0, ср-без изменений, (28.7.1)
г) = (г- 1) er sh (t).
274
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
Тогда метрика Шварцшильда (28.3.9) примет вид
-г(1)
ds2 =- -----------------
'¦(6)(6а + Па)
[? (dl2-dr\2) -f 2г) dl dri] -f
+ r (|)*[d0a4- sin2 0 dtp2], (28.7.2)
где функция r (l) для любого ?> - 1 задается как положительное решение
уравнения
Обозначим через К' многообразие с метрикой (28.7.2), определяемое картой
со следующими интервалами изменения переменных:
Это многообразие содержит по одной копии многообразий I и II Шварцшильда,
причем им соответствуют области 0 < ? < оо и - 1 < I < 0. Далее мы
убедимся в том, что многообразие К' максимально, т. е. его нельзя
расширить до большего многообразия; поэтому, возможно, оно покажется
предпочтительнее многообразия Крускала из-за большей простоты формул.
Однако здесь сингулярность в точке E = i| = 0 обусловлена сингулярностью
системы координат и поэтому является устранимой; оказывается, что все
инварианты кривизны имеют конечные пределы при приближении к точке | =
т]=0
Многообразие К' обладает свойством обращения времени. Иначе говоря, если
tga обозначает наклон dl/dr\ нулевой геодезической в плоскости Ё, т|
(геодезической, на которой ds2 = 0 при постоянных 0 и ф), a tg Р есть
просто g/r), то из (28.7.2) видно, что
что эквивалентно равенству tg P=tg 2а. Следовательно, если некоторая
точка на плоскости ?, т] совершает один оборот по часовой стрелке вокруг
начала координат |=г) =0, то р увеличивается на 2л, а а - только на л, т.
е. направления нулевых геодезических изменяются на противоположные.
Ясно, что сингулярности типа сингулярности в точке ?=т]=0 на многообразии
К' физически неприемлемы; вообще максимальное расширение заданного
многообразия Эйнштейна не имеет физического смысла, если оно не является
геодезически полным.
Природа сингулярности в точке ?=т]=0 исследуется далее в упражнениях.
(28.7.3)
0, ф - как обычно.
исключением | = tj = 0);
tgPO - tg2 <х) = 2 tg а,
28.8. Многообразия Керра
275
Упражнения
1. Пусть М-двумерное многообразие, состоящее из одной карты, метрика
на которой задана формулой
Покажите, что М-плоское многообразие (т, е, что Rapy6 = 0) с нулевой
сигнатурой и, следовательно, локально минковское. Покажите также, что в
Af есть обращение времени.
2. Найдите геодезические на многообразии Af из предыдущего упражнения.
Покажите, что когда геодезическая % идет к оо на плоскости ?, г|,
натуральный параметр X на 4S стремится к ± оо, в то время как при
приближении точки геодезической к началу координат X стремится к
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed