Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
допустимая карта на М (т. е. согласованная с ранее определенными картами)
в силу определения гомеоморфизма. Тогда gp полагаются теми же самыми
функциями координат х''=<р'1 второй карты, что и gjk, зависящие от
координат x' = cp' первой карты. Но тогда все карты, полученные из {U, ф,
N) посредством гомеоморфизма а и его суперпозиций, имеют совпадающие
метрические тензоры, и могут быть отождествлены для получения одной карты
на N.
Эти идеи используются в гл. 28 при изучении глобальных свойств
многообразий Эйнштейна.
Глава 27
РИМАНОВЫ, ПСЕВДОРИМАНОВЫ И АФФИННО СВЯЗНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Метрика, псевдометрика, связность и топология; геодезические (римановы)
координаты; геометрия в смысле Клейна; приближенная конгруэнтность;
конгруэнтность звезд; ковариантная производная; абсолютная производная;
параллельный перенос; ориентируемость, лоренцева ориентируемость;
лапласиан; даламбертиан; тензор Римана; тензор Риччи; скалярная риманова
кривизна; получение вторых производных метрического тензора по тензору
Римана; условия согласованности аффинной связности с метрикой; внутренняя
кривизна многообразия; плоские многообразия; условия Штеккеля, Робертсона
и Эйзен-харта разделения переменных в волновом уравнении.
Предварительные сведения: гл. 23, 24, 26.
Тема этой главы - геометрия многообразия, на котором определена метрика,
псевдометрика или аффинная связность. Разграничение данной и предыдущей
глав условно и довольно произвольно, поскольку в конце предыдущей главы
изучаются геодезические кривые, а в начале этой - геодезические
координаты. Однако между ними есть и важное различие. Предыдущая глава
носила в основном аналитический характер, и единственное геометрическое
понятие, использованное в ней,- это расстояние между двумя точками;
данная глава носит в основном геометрический характер, причем в смысле
Евклида, за исключением некоторых концептуальных обобщений и
аналитичности формулировок. Такие фундаментальные понятия, как
параллельность, длина, кривизна, угол, являются в действительности
геометрическими, и их следует именно так и рассматривать. Использование
аналитических методов не затрагивает геометрической природы этих понятий
точно так же, как введение Декартом координат в евклидову геометрию. С
этой точки зрения один из основных результатов предыдущей главы - теорема
Уайтхеда - служит той же цели, что и постулат Евклида о том, что через
две различные точки можно провести одну и только одну прямую, только в
теореме Уайтхеда требуется, чтобы эти две точки были не слишком далеки
друг от друга.
В современной математике, все направления которой до некоторой степени
сливаются, трудно понять, что является геометрией, а что анализом,
однако, конечно же, те понятия, которые восходят непосредственно к
Евклиду, следует признать геометрическими. Во времена Евклида геометрию
понимали как науку, изучающую окружающее нас физическое пространство.
Если общая теория
232
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
относительности верна, то таковыми же являются риманова, псев-дориманова
и аффинная геометрии; даже если эта теория будет модифицирована, ее
главные идеи, разработанные за 60 лет, несомненно, будут продолжать быть
основой теории физического пространства-времени.
Мы достигнем наилучшего понимания рассматриваемой темы, если на передний
план выдвинем геометрические идеи (подобные параллельному переносу
вектора вдоль кривой), а подробные аналитические формулы используем как
незначительную детализацию их фона.
27.1. ТОПОЛОГИЯ И МЕТРИКА
Согласно гл. 23, топология многообразия определяется набором его
координатных карт.
Главное различие между римановыми и псевдоримановыми (или аффинно
связными) многообразиями состоит в том, что у последних связь между
топологией и метрикой является не столь тесной, как у первых. В связном
римановом многообразии расстоянием d(P, Q) между любыми двумя точками Р и
Q есть инфимум длины кривой между ними, который берется относительно всех
путей из Р в Q. Многообразие тогда является метрическим пространством,
что означает, что на нем определена функция d (расстояние),
удовлетворяющая следующим соотношениям:
d(P, Q)^0 VP, Q;
d(P, Q) - 0 & P = Q;
d(P, Q)<d(P, R) + d(R, Q).
Топология в этом пространстве определяется указанной метрикой, потому что
множества
S(e, P) = {Q: d(P, Q) < e)
(открытые шары) являются открытыми множествами, а все другие открытые
множества представляют собой объединения открытых шаров. В римановом
многообразии эта топология совпадает с топологией, определенной ранее при
помощи координатных карт.
В псевдоримановом многообразии, где матрица (gjk) не является
положительно определенной, только что определенное расстояние
d{P, Q) всегда равно нулю и поэтому не является метрикой. Тем не менее
это многообразие обладает коррректно определенной топологией, порождаемой
картами, как указывалось в § 23.3, и то же самое верно для аффинно
связных многообразий, для которых нет даже понятия расстояния вдоль
