Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
риманова и псевдориманова многообразия М с заменой прямой на
геодезическую. Рассмотрим задачу нахождения таких функций х1 (К) (/ = 1,
.. . , п), что
'Г1' •••;п)' (26.10.1)
х-'(О) и лу(1) заданы (] - I, . .., п). '
Уайтхед в 1932 г. доказал следующую теорему.
Теорема. Любая точка Р0 ? М имеет такую окрестность V, что для любых двух
точек Q0 и Q* из V с координатами xJ (0) и х](\) (/ = 1, ... , п)
соответственно существует единственная геодезическая, соединяющая Q0 и Q1
и целиком лежащая в V.
Требование принадлежности всей геодезической окрестности V часто
необходимо для обеспечения ее единственности: см. рис. 26.2, где
геодезическая на цилиндре идет по длинному пути вокруг цилиндра, а не по
кратчайшему пути от начальной до конечной точки.
Эту теорему легко доказать в несколько более слабой форме: существуют
такие окрестности и Vt, Р0 ? V1a. V2, что если Qo,Qi € Vi, то имеется
только одна геодезическая, соединяющая Q0 и Q1 и лежащая в V2;
доказательство Уайтхеда возможности совпадения Vj и V2 содержит некоторые
топологические соображения.
Следующие два результата, получающиеся при доказательстве теоремы
Уайтхеда, приводятся также без доказательства.
Следствие 1. Если кривая х'(X) непрерывна при a^.k^.b и удовлетворяет
уравнению геодезической при а < А, < ft, то она удовлетворяет этому
уравнению и при к -а и /. = Ь.
Следствие 2. Если (отражая зависимость геодезической от концевых точек)
решение двухточечной задачи, получающееся в теореме Уайтхеда, записать
как xJ' (/., Q0, Qd, то для любого >-€[0, 1] функции х1 (A,, Q0, QJ
непрерывно зависят от координат xJ (0) и х' (1) начальной и конечной
точек Q0 и Q1.
Доказательство существования решения двухточечной задачи аналогично
доказательству существования решения задачи с начальными данными: система
уравнений (26.10.1) сводится к интегральному уравнению, которое решается
методом итераций Пикара. Процедура доказательства несколько сложнее,
потому что здесь получается интегральное уравнение Фредгольма (верхний
предел
26.12. Аффинно связные многообразия
227
интегралов равен 1, а не X), и поэтому здесь нет ни множителя \!q\, ни
явной зависимости от X, как это было в (26.9.6). Подробности см. в работе
Уайтхеда [1932].
26.11. ПРОДОЛЖЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Для римановых многообразий можно доказать, что если кривая х1' (X)
удовлетворяет уравнению геодезической при а < X < b и лежит в компактной
области многообразия, то существуют пределы xJ(X) при X -> а и X-*Ь и
поэтому, в частности, применимо следствие 1 теоремы Уайтхеда. Для
псевдоримановых многообразий это неверно, что показывает следующий
пример. Пусть М-поверхность цилиндра, хг = г и х2 = 0-цилиндрические
координаты, а метрика на М задается матрицей
(?;*)" (i 2za) ( V^<Z<~V^)'
При таких ограничениях на г Ж оказывается псевдоримановым многообразием.
Читатель легко может проверить, что кривая
г = Х, 0 = 1Д (0<Х< 72)
является геодезической При X -> 0 геодезическая бесконечное число раз
огибает цилиндр и приближается к окружности z = 0.
Однако если кривая xJ' - xJ'(X) (/=1, ..., п) удовлетворяет уравнению
геодезической при а <А <Ь и непрерывна при то применимо указанное
следствие 1 и величины х> (Ь), х> (Ь) можно использовать как начальные
данные для теоремы существования в § 26.8, чтобы продолжить геодезическую
на некоторые значения X > Ь\ аналогично геодезическую можно продолжить и
на некоторые значения X < а.
Если под геодезической (в отличии от отрезка геодезической) понимать
решение уравнения геодезической, продолженное настолько, насколько это
возможно (вполне вероятно через несколько карт), то указанный выше
результат можно сформулировать так: для римановых или псевдоримановых
многообразий геодезическая не может иметь на многообразии ни начала, ни
конца.
Замечание. Это не означает, что для геодезической X-"-±оо, и не означает,
что геодезическая не может иметь начала или конца в некотором
пространстве, в которое погружено данное многообразие.
26.12. АФФИННО СВЯЗНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Поскольку законы преобразования тензоров известны, a gjk является
тензором, легко найти закон преобразования для трехиндексного символа
Кристоффеля {/*} из уравнений (26.6.10), (26.6.11). Если
228
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
относится к координатам х'\ ... , х'п, а (/*}- к координатам х1, ... ,
хп, то они связаны равенством
(2612-1)
Так как в уравнение геодезической (26.6.12) входит только {/*}, а не
непосредственно gjk, можно получить геометрию более общего вида,
называемую аффинной геометрией, если совсем не предполагать существование
метрического тензора gJk, а предполагать существование только набора
величин, преобразующихся подобно ]Д} и помещаемых на место ]Д} в
уравнении геодезической. Тогда существование (или отсутствие) тензора
gJk, при помощи которого эти величины могут быть найдены из уравнений
(26.6.10), (26.6.11), не играет особой роли.
Аффинная связность многообразия М определяется (по аналогии с тензором)
