Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 92

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 162 >> Следующая

ранга 3, равно как и величины \krт\, поскольку для них не выполняются
соответствующие законы преобразования; например, в евклидовом
пространстве все эти величины тождественно равны нулю в декартовых
координатах, но не в криволинейных координатах. Величины хк есть
компоненты контрава-риантного вектора, но хк таковыми не являются. Тем не
менее уравнения (26.6.12) в некотором смысле инвариантны: если в
некоторой системе координат им удовлетворяет данная кривая Р(К), то эта
кривая удовлетворяет им и в любой другой системе координат, потому что
эти уравнения выведены из инвариантного уравнения (26.6.8). Геодезическая
и натуральный параметр являются инвариантными объектами. Левые части
уравнений (26.6.12), вычисленные не обязательно на геодезической,
образуют в любой точке кривой % контравариантный вектор (полученный при
помощи так называемого абсолютного дифференцирования вектора хк-см. §
27.6), хотя отдельные члены в (26.6.12) сами по себе не являются
компонентами какого-либо вектора. Если кривая ё проходит через несколько
карт и в каждой из них удовлетворяет (26.6.12), то % также называется
геодезической на многообразии.
26.7. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА ПСЕВДОРИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
В этом случае Ф может быть отрицательным, поэтому величина L,
ь
определенная как J Ф1/2 dw, не имеет смысла длины. Даже если
а
Ь
переопределить L как ^|Ф|'-/2с?ш, то L еще не будет длиной в
а
обычном смысле, так как для любых данных точек Р и Q всегда можно найти
такую (кусочно гладкую) кривую от Р до Q, что для нее L = 0. Тем не менее
кривая ё) xk = xk (А), удовлетворяющая (26.6.12), по-прежнему называется
геодезической, а А называется натуральным параметром. Величина Ф =
gJkxJxk постоянна на ё, и возможны три случая;
222
Гл. 26. Метрика и геодеизические на многообразии
если Ф > 0, то % называется
пространственноподобной геодезической; если Ф = О, то % называется
(27.7.1)
нулевой геодезической; если Ф < 0, то % называется
временноподобной геодезической.
Так как Ф-квадратичная по хк функция, эта классификация не зависит от
выбора натурального параметра. Параметр i можно выбрать так, чтобы в
первом случае было Ф=1, а в третьем Ф = - 1; в этом случае X называется
соответственно расстоянием и собственным временем вдоль кривой %.
Геодезические играют важную роль в общей теории относительности.
26.8. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.
УСЛОВИЕ ЛИПШИЦА
Пусть а1, . . . , ап-координаты (на данной карте) произвольной точки Р0
риманова или псевдориманова многообразия М. Задача с начальными данными
для нахождения геодезической, идущей из точки Р0 по направлению
касательного вектора I1, .. . , в Р0, с натуральной параметризацией
состоит в следующем: нужно решить дифференциальные уравнения
Ж = ~и^ркр1 (/ = !. •••"") (26.8.1)
с начальными условиями
*/(0) = аЛ pt(0) = V (1 = 1.........л). (26.8.2)
В следующем параграфе будет показано, что эта задача всегда имеет
единственное решение для к из некоторого интервала
[-*0. U
Удобно ввести обозначения
ук = хк-ак (й=1, ..., п),
уП + k ^pk (&= 1,...,")
и переписать дифференциальные уравнения в виде
dyk/dl = fk(y1, ..., у2"), *=1, .... 2/1, (26.8.3)
где через fk обозначены функции в правой части /е-го уравнения
(26.8.1) для /г = 1, ..., 2п, а символы Кристоффеля теперь
рассматриваются как функции от у1, .. . , у2п. Функции fk для всех у1,
... , у2попределяются так, что соответствующая точка х1, . ., хп лежит на
заданной карте. Предполагается, что все и их пер-
26.8. Геодезические. Задача с начальными данными
223
вые производные непрерывны на этой карте; оказывается, что в этом случае
функции fk удовлетворяют условию Липшица на любой компактной области (у1,
... , (/2л)-пространства, на которой они определены. Это означает, что
для любой постоянной 6, такой, что fk определены для всех у1, ... , у2п в
кубе W = {у: |z/'|^6, i=l, ... , 2п) найдется такая постоянная L = L(6),
что для любых двух точек \у'\ и {у1} из W
|Р (г/1, ... , у2п) - fk(y\ ...,(/2n)i<L max W- у11,
(/= 1...2n)
A = 1, ... , 2 n. (26.8.4)
Доказательство этого свойства \fk\ предлагается в качестве упражнения.
Оно основано на использовании вида fk, заданного в (26.8.1), и
предположения, что символы Кристоффеля являются функциями класса С1 по
переменным у1, ... , уп. В новых обозначениях задача с начальными-данными
принимает вид
dyk/dX = fk (у\ ...,yN), yk (0) = yl задано
(k= 1, .... N = 2n). (26.8.5)
В следующем параграфе будет доказано, что эта задача имеет единственное
решение вблизи А = 0; следовательно, выполняется и следующая теорема.
Теорема 1. Задача с начальными данными (26.8.1), (26.8.2) о
геодезических, идущих из точки Р0 в направлении начального касательного
вектора {?*}, имеет единственное решение хА(А.) на некотором интервале -
А,0 ^ X ^ Х0 (Х0 > 0).
Следствие 1. Если кривая 'ё есть геодезическая Р (X) на М с натуральной
параметризацией и удовлетворяет начальным условиям (26.8.2), то Р (X)
единственна на всем ее протяжении1).
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed