Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 91

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 162 >> Следующая

где L0 - длина У функции Ф и ее производных аргументы хк и хк следует
рассматривать как функции на т. е. как ук (до) и ук (до). Чтобы значение
L было минимумом, интеграл в (26.6.4) должен обращаться в нуль при любом
выборе функций гк (до), а это условие приводит к дифференциальным
уравнениям относительно функций г/* (до), описывающих кривую %0. Если
этот интеграл обращается в нуль при всех гк, т. е. если ук удовлетворяют
этим дифференциальным уравнениям, то кривая называется геодезической (или
геодезической кривой) на М\ кривая может быть наикратчайшим путем от Рх
до Р2, а может и не быть им (см. примеры ниже), однако в любом случае
значение L стационарно на
В частности, если М-евклидово п-мерное пространство и х1, ..., хп-
криволинейные координаты, так что метрический тензор задается формулой
(26.3.1), то кривая представляет собой отрезок прямой, описанный в
криволинейных координатах.
Для упрощения последующих вычислений удобно выбрать параметр до на кривой
#0 таким образом, чтобы Ф оказалось константой на %К) (но не обязательно
на соседних кривых в самом деле, до нельзя выбрать таким, чтобы Ф было
одной и той же константой на и на соседних кривых, потому что для этих
кривых w - a и w = b в Рх и Р2 соответственно; значит, если до можно было
бы выбрать указанным образом, то все эти кривые имели бы одну и ту же
длину). Это можно сделать введением на нового параметра X - X(w)
равенством
""I __________
Я(до1> = 5 ^Skii)kyl dw> as^w1!^b (26.6.5)
а
26.6. Геодезические на римановом многообразии
219
(X-длина дуги вдоль #0); используя X в качестве переменной интегрирования
вместо w, получим вместо (26.6.5)
К __________
h = 5 VётУкУ1 dX\
о
поэтому после дифференцирования по Xt получаем |/"gk[ykyl = КФ 33 1 на
Множитель О-1/* можно теперь вынести за знак интеграла (26.6.4). Иначе
говоря, если в качестве параметра X взята длина дуги %0, то вариационные
задачи
ь ь
6$КФ<а = 0 и 6$Ф<Д = 0 (26.6.6)
а а
имеют одно и то же решение. Хотя Ф=1 на частные производные Ф в (26.6.4)
не обращаются в нуль, потому что они включают дифференцирования по другим
направлениям, а не только вдоль <6В.
Интегрирование по частям второго слагаемого в (26.6.4) после удаления Ф-
1/2 (проинтегрированные члены обращаются в нуль, поскольку г* = 0 в Р1 и
Р2) и приравнивание интеграла нулю дают
а
В силу произвольности гк (X) отсюда следует, что
5--^==° (*=" •-•")¦ (26-6.7)
Слова "на #0" означают, что в качестве функций хк(Х), входящих в Ф (см. §
26.6.2), нужно брать функции ук(Х), которые описывают кривую Уравнения
(26.6.7) являются вариационными уравнениями Эйлера задачи
ь
б$ФЛ = 0. (26.6.8)
а
Из определения (26.6.2) функции Ф ясно, что уравнения Эйлера выглядят, в
частности, так [в (26.6.7) k заменяется на т]:
(два члена в скобках, конечно, равны друг другу), или
220
Гл. 26. Метрика и геодеизические на многообразии
именно этим уравнениям (т = 1, ... , п) должны удовлетворять функции
xk(w) = yk(w) для того, чтобы кривая была геодезической.
Эти уравнения удобно записать с использованием трехиндекс-ных символов
Кристоффеля первого и второго рода, имеющих вид соответственно
и
Wi) =grm\kl, т] (просуммировано по т). (26.6.11)
Тогда после умножения (26.6.9) на grm и суммирования по т получаются
уравнения (для геодезической)
х'+ {kri\ xkxl = 0 (r= 1, ..., п) (26.6.12)
(здесь, как и везде, используется соглашение о суммировании). Символ \bi}
является функцией от хх, ... , хп, причем считается, что взяты л1(Х), ...
, хп(Х). Любая кривая <6\ xk = xk(X), удовлетворяющая (26.6.12),
называется геодезической; параметр X называется натуральным параметром
(или аффинным, или предпочтительным, или естественным) на <6. Очевидно,
что уравнения (26.6.12) не изменяются при подстановке Х-*аХ + Ь, где а-
5^0 и b-константы; следовательно, натуральный параметр определен с
точностью до таких линейных преобразований. На римановом многообразии X
можно взять как длину дуги.
Рис. 26.2. Геодезические. 1-сфера; 2 - геодезическая из Л в В минимальной
длины; 3 - геодезическая из Л в В максимальной длины; 4 - цилиндр;
5 - две геодезические из Л в В минимальной длины.
Достигает ли на % интеграл L действительно минимума (а не максимума или
даже просто стационарного значения) и является ли этот минимум
единственным, невозможно выяснить без дополнительных исследований (см.
примеры на рис. 26.2; заметьте
26.7. Геодезические на псевдоримановом многообразии 221
также, что на сфере имеется бесконечно много геодезических между данной
точкой и диаметрально ей противоположной, причем все эти геодезические
имеют одну и ту же длину). Однако ниже мы убедимся в том, что для любой
заданной точки А многообразия найдется такая ее окрестность NA, что для
любой точки B?Na имеется только одно решение уравнений (26.6.12), идущее
из Л в В и лежащее в NA, причем на этой кривой интеграл L достигает
минимума.
Замечания. Величины [kl, tn\ не являются компонентами какого-либо тензора
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed