Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 87

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 162 >> Следующая

Этот закон преобразования также транзитивен.
Замечание. В римановых и псевдоримановых пространствах (включая евклидовы
пространства) любой вектор может быть представлен как в ковариантной, так
и в контравариантной форме; формулы для поднятия и опускания индексов при
помощи метрического тензора gjh будут приведены ниже (см. § 26.5). Однако
в некоторых случаях, например в варианте Вейля единой теории поля,
расстояния и длины векторов только относительны, метрического тензора
вообще нет, а есть только так называемая аффинная связность (см. §
26.12). В таких случаях ковариантные и контравариантные векторы имеют
существенно разную природу. Отметим также, что координаты х1, . . ., хп
не являются компонентами вектора, потому что они не преобразуются по
закону (26.1.12), за исключением случая однородных линейных
преобразований.
Когда на многообразии добавляют или исключают согласованные карты, как
это описано в гл. 23, предполагается, что и соответ-
26.1. Скалярные и векторные поля на многообразии
209
ствующие наборы компонент векторов {и,} или {vJ} также добавляются или
исключаются согласно законам преобразования (26.1.10) или (26.1.12).
Свойства векторных полей, инвариантные при таких добавлениях и
исключениях, рассматриваются как их внутренние свойства. В этом смысле
понятие ковариантного (или контравари-антного) векторного поля не зависит
от координат.
Упражнения
1. Пусть ui и vi - гладкие контравариантные векторные поля, и пусть
wl = uk dvl/дхк-vkdui/dxk. (26.1.13)
Покажите, что величины {wi}1 преобразуются согласно равенству (26.1.12) и
поэтому образуют векторное поле.
Введем обозначение w=[u, v] и назовем w скобкой Ли векторов и и v1).
Ясно, что [u, v]=-[v, и]. Покажите, что если uJ, vl, wl - произвольные
гладкие векторные поля, то
[[u, v], w]-J-[[v, w], и]-J-[[w, и], v]=0 (тождество Якоби).
Отсюда следует, что если, исходя из двух или более С°°-векторных полей на
О-многообразии, получить все возможные векторные поля при помощи линейных
комбинаций (с постоянными коэффициентами) и скобок Ли, то в результате
возникнет алгебра Ли (возможно, бесконечномерная).
2. Пусть и> и vl - гладкие контравариантные векторные поля, скобка Ли
которых равна нулю, т. е.
uk dvl/dxk = vk ди!/дхк.
Нужно показать, что если точка Q на многообразии является концом пути,
начинающегося в точке Р и следующего вдоль интегральной кривой векторного
поля и!, т. е. вдоль решения системы
dxl/dt=ul (/=1, ...,я),
до момента времени tlt а затем вдоль интегральной кривой поля vl до
момента /2. то т°й же точки Q можно достичь, следуя от точки Р сначала по
интегральной кривой поля vl до некоторого момента ta, а затем-по
интегральной кривой поля и> до некоторого момента времени С этой целью
возьмем поверхность xi (s, t) на многообразии, определяемую следующими
задачами с начальными данными:
dxl (s, 0)/ds - ul (x(s, 0)),
xi (0, 0) задано (точка Л),
и
dxJ (s, t)Jdt = vl (x (s, t)), xi (s, 0) задано (из предыдущей задачи)
(см. рис. 26.1). Покажите, что тогда х (s, t) удовлетворяет и уравнению
дх> (s, t)/ds= ui (х (s, t))
при ( = 0, для чего докажите, что величины в обеих частях этого уравнения
являются решениями указанных задач с начальными данными (относительно t),
а именно тех же самых "обыкновенных" дифференциальных уравнений (s фик-
*) Или их коммутатором.- Прим. перев.
210
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
сировано) т. е.
д / // / <ЧЧЧ dV/ (Х (St 0) k, / ,ЧЧЧ
(ц' (X (S, 0))=---^-- ы* (х (S, 0))
с теми же самыми начальными условиями, потому что
дх> (s, 0)/ds = uJ (х (s, 0)).
Поверхность х* (s, /) состоит из точек, которых можно достичь,
следуя из Р
по зигзагообразным путям, каждый отрезок которых является
отрезком
интегральной кривой либо для поля и!, либо для поля оГ
26.2. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
Контра вариантные тензоры Т/к, T}kl и т. д. произвольного ранга {ранг-это
число индексов) преобразуются согласно закону
-{dx'Jjdxr) (dx'k!dxs) ... Trs-. (26.2.1)
Соглашение о суммировании применяется здесь ко всем повторяющимся
индексам г, s,... в правой части равенства; в результате получается
кратная сумма. Ковариантные тензорные поля Тjh, Tjb.i и т. д.
преобразуются согласно закону
Т)к... = (дхг/дх//) (dxs/dx'k).. .Trs,.(26.2.2)
а смешанные тензоры-согласно правилу, указанному в следующем примере:
T'jk дх"Л Trs а ,26 2 3
1 дхг дх* дхп дх" ' ' '
Все эти законы преобразования транзитивны. О последнем тензоре говорят,
что он имеет контравариантный ранг 3 и кова-риантный ранг 1.
26.2. Тензорные поля
211
Законы преобразования показывают, что если и1, о>-контравариантные
векторы, a Wj, Zj-ковариантные векторы, то величины
Т/к = uhk, Т ]k = WjZk, Т\ = uJ'wk, Tikl - uhkwl и т. д. определяют
тензоры обозначенного типа. Вообще если
T/l/V- Qrlr2..- Ц Ц-
I ft,*"- • • • И О SlSl... . . .
- любые два тензора, то произведения
('phi*••• \ (<?rir2--- litt... \
I' к,кг... • • • ДФ s,s,... • • ¦)
являются компонентами тензора
n/l/z--- lilt-" Г1Г2--- tilt".
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed