Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
пространство L2(R3) волновых функций ф (х) нерелятивистской частицы с
нулевым спином, то отображения
gi Ф(х)-*ф(?_1х) [g 6 50(3)]
образуют представление группы 50(3) на Н, как в § 20.9. Так называемые
инфинитезимальные операторы этого представления, рассматривавшиеся в §
20.9, имеют вид
L, = xld[dxk-xkdldxl (/' k I = 1 2 3, 2 3 1, 3 1 2).
Самосопряженные операторы i%Lj соответствуют составляющим момента
импульса частицы. Линейные комбинации операторов Lj с вещественными
коэффициентами дают некоторую реализацию алгебры Ли Л группы 50 (3).
В физике элементарных частиц подходящие группы симметрии часто неизвестны
из-за отсутствия полной теории элементарных частиц, но иногда находятся
различные алгебры Ли Л, играющие определенную роль на эмпирической
основе.
Может возникнуть путаница из-за того, что слово "группа" часто
используется для обозначения алгебры Ли. В частности, бывают ссылки на
"группу G2". Согласно § 25.16, G2 является алгеброй Ли, а точнее
комплексной алгеброй Ли. Группа, фигурирующая
200
Гл. 25. Группы Ли
в физической теории, представляет собой, видимо, группу, алгебра Ли
которой является одной из трех вещественных алгебр Ли, которые упомянуты
в предыдущем параграфе и комплексификация которых дает алгебру Ga. Как же
в таком случае выделить единственную группу? Самый простой и естественный
способ состоит в учете следующего обстоятельства: только одна из
вещественных алгебр А, комплексификация которых приводит к данной алгебре
А, является алгеброй Ли компактной группы (или, возможно, нескольких
компактных групп), а из всех групп Ли G, имеющих данную вещественную
алгебру А, только одна является односвязной. Следовательно, в частности,
существует единственная компактная односвязная группа Ли, соответствующая
алгебре G2. Но поскольку многие из групп симметрии в физике не являются
ни компактными, ни односвязными, разрешение вопроса об идентификации
группы, которую следует ассоциировать с заданной алгеброй Ли в физике
частиц, требует, по-видимому, дальнейшего развития теории.
Алгебра Ga использовалась также при изучении атомов с частично
заполненными /-оболочками; см. Рака [1951]. В этом случае теория столь
полна, что существует совершенно определенная соответствующая алгебре Ga
группа, которая, согласно Рака (см. также статью Берендса, Дрейтлейна,
Фронсдейла и Ли [1962]), является подгруппой группы SO (7).
Приложение к главе 25.
ДВЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
В данном приложении мы приведем два примера групп Ли, которые не являются
линейными, т. е. не имеют точных конечномерных представлений, а значит,
не могут быть реализованы как группы матриц.
Для первого примера возьмем в качестве О так называемую группу Гей-
венберга
Обозначив введенные матрицы через gXt 2, путем непосредственных
вычислений мы получим, что
Отсюда следует, что если р-любое представление группы G, то р (g0 0 2)
представляет собой унимодулярную матрицу для любого г, поскольку det (р
(go, о, ху)) равен
- 8-х, о, о> ~8oi -у, о" Во, у, о ?x?iо,о go,1;/, o = go, о, ху
(25. А. 1)
det Р (Вх, о, о) det р (g0< 0) det р (gXt 0, о)-1 det р
(g0i у< ")~l = 1
Примж. к гл. 25. Две нелинейные группы Jlu
201
Допустим теперь, что G0-нормальная подгруппа группы G:
'10 п\
0 1 0 ): п целое ] чО 0 1/
Будет показано, что любое конечномерное представление факторгруппы G/G0
не является точным; следовательно, G/G0 не может быть линейной группой.
Пусть у г, 0 ^ г < 1, обозначает элемент группы G/G0 (смежный класс в G),
который содержит Цх,у,г- Иначе говоря, gx,y,z есть бесконечное множество
матриц размера 3 х 3,'а'именно матриц
i/l х г+п\ л
gx, = 1 у J: п = 0, ± 1, ±2, ...
Нетрудно видеть, что по аналогии с (25.А. 1)
gx, 0. о go. у, о gxS.ogo'y, o = go, О, Z>
где г = ху (mod 1). Отсюда, как и выше, для любого представления р группы
G/G0 det р (g) = 1, если g принадлежит подгруппе
H = {go.o, г:°<г < !} < G/G0.
Но Н изоморфна группе SO (2), когда 2яг играет роль угла 0;
следовательно, Н является компактной и абелевой группой. Согласно общей
теории представлений, рассмотренной в § 21.1-21.4, любое представление
компактной группы эквивалентно унитарному представлению, а любое
унитарное представление абелевой группы вполне приводимо к прямой сумме
одномерных представлений. Следовательно, если р-любое m-мерное
представление факторгруппы G/G0, то относительно подходящего базиса в
пространстве Ут представление р подгруппы Н SO (2) имеет диагональный
вид:
/ е2ят,г (0)
P(go. о, *)=(
\ (0) е2ЖЯ"
Каждое из одномерных представлений, задаваемых диагональными элементами
этой матрицы, имеет детерминант, равный 1 для всех g из Н; поэтому все
целые числа п\, ..., пт равны нулю. Иначе говоря, все элементы подгруппы
Н представляются единичными матрицами размера т X т\ поэтому
представление р факторгруппы G/G0 не является точным.
Второй пример не столь элементарен (по крайней мере предстоящее его
рассмотрение), потому что используется достаточно глубокая теорема о
