Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 78

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 162 >> Следующая

преобразованием Adp в А, потому что
Ad{0> д) ]Х, 0}=[{0, р}, ]Х, 0}] = ]р (р> X, 0}.
Упражнение
2. Пусть Ga и Н - замкнутые подгруппы группы Ли G, причем G0 нормальна.
Допустим, что каждый елемент g из G имеет единственное представление в
виде ggh, где g0 и h принадлежат соответственно G0 и Н. Пусть далее А, А0
и М - алгебры Ли групп G, G" и Н. Покажите, что А = А0(r)Р Af, где р(р) =
А(1д для любого р ? М. Указание. Если для X ? А0 и ц ? Af
{X, р) означает ln(eV*), найдите произведение Ли двух таких пар,
используя разложение формулы КБХ для
р{Х,. Мг)
и для каждого множителя отдельно.
Полупрямая сумма становится прямой суммой А0фМ, если р-тривиальный
гомоморфизм, который отображает каждый элемент р из М на нулевое
преобразование, т. е. р(р)Х=*0 для всех X. В этом случае А" и М являются
идеалами в АафМ.
Фундаментальная теорема о структуре, которая доказывается на весьма
поздней стадии развития рассматриваемой теории, ут-
25.16. Классификация простых комплексных алгебр Ли
189
верждает, что любую алгебру Ли можно представить в виде повторной
полупрямой суммы
(• • -((АоШр.Ао) 0Р!Л2) ... 0Р^ЛА)
алгебр Ли, каждая из которых или одномерна, или проста; поэтому главной
целью теории является классификация простых алгебр. Приведенная теорема
справедлива как для вещественных, так и для комплексных алгебр Ли; весьма
тонкое ее доказательство можно найти в книге Хаузнера и Шварца [1968].
2S.16. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБР ЛИ
Отношения, связывающие различные объекты рассматриваемой теории, показаны
на следующей схеме:
Группа Ли ^Вещественная д Комплексная алгебра Ли алгебра Ли
Простая комплексная алгебра Ли
Простые ¦ вещественные алгебры Ли
¦ Группы Ли
Любая группа Ли определяет единственную вещественную алгебру Ли, в свою
очередь определяющую единственную комплексную алгебру Ли при помощи
процесса, называемого комплексификаци-ей, который будет описан ниже.
Комплексный случай проще вещественного, так же как и в элементарной
теории матриц, потому что совокупность комплексных чисел С алгебраически
замкнута, тогда как R не является таковой. (Вспомним, что вещественная
матрица в общем случае имеет комплексные собственные значения и
собственные векторы.) Имеется полная классификация простых комплексных
алгебр Ли, а именно существуют четыре регулярные бесконечные серии алгебр
и пять так называемых исключительных алгебр. Следующий шаг заключается в
том, чтобы найти все простые вещественные алгебры, комплексификация
которых приводит к данной комплексной алгебре. Такой шаг выполнен в книге
Хаузнера и Шварца [1968], где читатель может ознакомиться с полной
классификацией простых вещественных алгебр. Этот результат получить
гораздо сложнее, чем классификацию комплексных алгебр, но зато
реализуется два шага в классификации групп Ли; для этого нужно, во-
первых, найти все возможные повторные прямые суммы одномерных и простых
алгебр, как описано в конце предыдущего параграфа, а во-вторых, найти все
(скажем, связные) группы Ли, которые дают данную вещественную алгебру Ли.
Мы дадим очень краткий набросок этой теории, используя классификацию
простых комплексных алгебр. Алгебраические подробности и ряд лемм,
необходимых для доказательств, читатель может найти в книге Хаузнера и
Шварца [1968].
190
Гл. 25. Группы Ли
Как уже указывалось в предыдущем параграфе, нас в основном интересуют
простые алгебры, но при их рассмотрении потребуются некоторые непр<эстые
алгебры, а именно полупростые, разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Для
того чтобы их определить, заметим прежде всего, что если Ах и Л2-любые
идеалы в некоторой вещественной или комплексной алгебре Ли Л, то
произведение [Лх, Л2], определяемое как подпространство, которое является
линейной оболочкой элементов вида [>"j, Л,2], где ^eAj, а к2 ? Л2, т. е.
подпространство
[Л,, Л2] = линейная оболочка {[^х, А,2]: ?^X?AX, 12^Л2},
есть идеал, содержащийся как в Лх, так и в Д2. Теперь мы определим две
нисходящие последовательности идеалов в Л, а именно
Л1 = Л з Л2 з Л3 з ...
и
Л(1, = Л з Л<2) dA 131 d . ..,
используя индукцию
Л*+1 = [Л,Л*], Л<*+1) = [Л<*), Л<*>].
Говорят, что алгебра Л разрешима, если A(ft) = 0 для некоторого /г, и
нильпотентна, если Л* = 0 для некоторого k. Легко видеть, что
нильпотентная алгебра разрешима; действительно, Ам с Л* для всех k, что
устанавливается путем индукции по k.
Как и в § 25.12, алгебра Ли Л более чем одного измерения проста в случае,
когда она не содержит собственных ненулевых идеалов. Алгебра Ли
называется полупростой, если она не содержит собственных ненулевых
разрешимых идеалов (в этом случае сама алгебра А не может быть разрешима,
так что слово "собственных" в последнем определении можно опустить).
При дальнейшем развитии теории окажется, что алгебра А будет полупростой
тогда и только тогда, когда А2=А (отсюда возникает требование, что
dimA>l, ибо если dimA=l, то А2=0); далее, алгебра А полупроста тогда и
только тогда, когда ее можно представить в виде прямой суммы идеалов
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed