Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Adi
венными матрицами размера 3x3. Покажите, что матрицы е образуют
группу SO (3) и что гомоморфизм ев этом случае представляет собой
знакомый нам (2-> 1)-гомоморфизм группы SU (2) на группу SO (3). Что
является центрами групп SС/(2) hSO (3)?
6. Если С-центр группы G, то не обязательно отсутствие центра у
факторгруппы G/G0. Покажите это путем рассмотрения конечной группы
G = {±1, ±i, i/i ±k}, где (, /, k - базисные единицы кватернионов,
удовлетворяющие соотношениям
(* = /a = /!t* = -1,
(/ = -/( = k, jk = -kj = l, ki = -Ik - j,
7. Покажите, что центр Z алгебры Ли А является идеалом и что
фак-
торалгебра А/Z является алгеброй без центра.
8. Пусть G - связная группа Ли, М'-универсальное накрывающее многообразие
многообразия М группы G, и пусть ф-проекция М' на М. Многообразие М'
становится группой G', называемой универсальной накрывающей группой
группы G, если в этом многообразии определить умножение следующим
образом. Сначала выберем одну из точек в М', которая находится
над единицей 1 группы G, и обозначим ее 1' [следовательно ф(1')=1 и 1'
25.15. Прямая и полупрямая суммы алгебр Ли
187
будет единицей группы G']. Теперь допустим, что g' и h'-две произвольные
точки в ЛГ, a g'(s) и h'(s) - кривые в ЛГ, связывающие соответственно g'
и h' с Г так, что g'(0) = Л'(0) = 1', тогда как g'(l) = g' и h'(l)-h'.
Допустим далее, что g(s) и h (s) - проекции кривых g'(s) и h'(s) на
многообразие М, т. е. g(s) = i|) (g'(s)) и h (s) = ij) (h'(s)). Тогда
k(s), равное произведению g (s) h (s), будет некоторой кривой в М,
выходящей из 1. Пусть k'(s) - кривая в ЛГ, которая получается при
поднятии k (s) в многообразие ЛГ, причем так, что fe'(O) = 1' (см. §
24.2); тогда произведением g'h' в ЛГ должна быть определена точка &'(1).
Покажите, что это определение состоятельно (т. е. не зависит от выбора
кривых; вспомним, что ЛГ- односвязное многообразие) и что благодаря ему
G' становится группой Ли. Покажите, что проекция ф есть гомоморфизм
группы Ли G' на G. Покажите, что если g' лежит над 1 [т. е. если iMg^)=l;
иначе говоря, если g' принадлежит ядру упомянутого гомоморфизма], то g'
коммутирует с любым h1 ? G'. Указание. Возьмите определяющие кривые в ЛГ
так, что /i'(s) = l' для 0<s<Va. a g'0(s) = g'0 Для Va<s<l.
25.15. ПРЯМАЯ И ПОЛУПРЯМАЯ СУММЫ АЛГЕБР ЛИ
Понятия, которые обсуждаются в этом параграфе, аналогичны прямому и
полупрямому произведениям групп, определенным в § 18.15 в связи с
кристаллографическими пространственными группами. Предположим, что
некоторая алгебра Ли А может быть представлена в виде прямой суммы (в
смысле векторного пространства) двух подпространств и Л2, т. е. любой
вектор Я,?Л можно однозначно разложить в сумму Я, + Я2, где ^ принадлежит
Л*, а Л,2 принадлежит Л2. Предположим, кроме того, что [Aj, Я2] = 0 для
любых ? As и Я,2?Л2. В таком случае As и Л2 являются идеалами в А, а Л
называют их прямой суммой.
Теперь предположим, что Л есть прямая сумма (в смысле векторного
пространства) Л0 и М, где Л0-идеал, а М - только подалгебра. Тогда для и
Л,2, принадлежащих А0, и для jWj и ja2, принадлежащих М,
[Я, +Р-,, Я2 +р.2] = [Я,, Я2] + [p-j, Я2] + [>•!, М-2] Ч-[м-i, Ца]-
Первые три члена в правой части содержатся в Л0 (поскольку Л0 является
идеалом) и могут быть переписаны в виде
|Aj, >-2] + Ас1Ц]Я2 - Ас1ЦгЯ,,
тогда как четвертый член, [jWj, jli2], содержится в М.
Такой же результат получается, если мы начинаем с алгебр Ли А0 и М и
строим А, но сначала следует отметить некоторые свойства линейных
преобразований Абц. Каждое из них преобразует идеал А0 в себя, и
отображение ja - Ad^ является представлением алгебры М на А" согласно
упражнению 2 предыдущего параграфа, потому что для ц и v, принадлежащих
М,
v]= Adn Adv - Adv Ad^.
188
Гл. 25. Группы Jlu
Для фиксированного р преобразование Ad" есть дифференцирование, т. е.
АДд [Л.Ц Xa] = [AdpX1( А,я] -{- [>-!, АбдХа].
[В любой алгебре дифференцирование представляет собой линейное
преобразование р, такое, что р (х о у) = р (х) о у -}- х о р (у), где
кружок означает операцию умножения в этой алгебре.]
Пусть теперь Л0 и М-две заданные произвольные алгебры Ли, и пусть
преобразование jli -* р (jli> является представлением алгебры М
посредством дифференцирований в алгебре А0. Алгебра Ли, которая
называется полупрямой суммой алгебр А0 и М и обозначается через А"(r)РМ,
определяется следующим образом. Рассматриваемая как векторное
пространство, она представляет собой прямую сумму Л(| и М, так что ее
элементы суть упорядоченные пары {X, р}, где XgA,,, а р€М, и, кроме того,
в ней определено произведение Ли следующим образом:
]^2> Мг}] = i[^i> ^2] "Ь Р (Mi) ^2 Р (Ма) ^1" [Mil Ms]}-
Очевидно, что это произведение линейно по каждому множителю и
антисимметрично.
Упражнение
1. Покажите, что определенное сейчас произведение удовлетворяет тождеству
Якоби.
Пусть А = А0(r)рМ. Если отождествить А0 с множеством элементов вида ]Х, 0},
а Ж с множеством элементов вида ]0, р}, то р(р) станет в точности
