Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 74

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 162 >> Следующая

SL (2, С) тоже изоморфны лишь локально. В качестве второго примера примем
за группу G двумерную группу тора, рассматриваемую как группа матриц вида
Соответствующая ей алгебра Ли А представляет собой коммутативную алгебру
Ли матриц вида
где а, Ь, с, d вещественны и ad-ЬсФ 0, является автоморфизмом алгебры Ли
А. Соответствующий локальный автоморфизм G есть
это справедливо только для достаточно малых аир, поскольку, например,
элемент
обладает тем свойством, что g2 равен единице группы G, а это свойство не
сохраняется при ЧС кроме случаев специально подобранных чисел а и Ь.
Теорема 3. Пусть Ч1-локальный гомоморфизм группы Ли G в группу Ли G,
определенный в некоторой окрестности U единицы в G. Тогда:
(а) если существует расширение Ч? отображения ЧГ до отображения всей
группы G, которое является гомоморфизмом в смысле
Любое линейное преобразование
а-саа + бр, р-еса + ^Р,
eia 0 0
gi (аа + bp) (
о
%5.13. Гомоморфизмы группы Ли
181
элементарной теории групп, то Ф непрерывно и поэтому аполитично во всей
G, т. е. является гомоморфизмом группы Ли\
(б) если G-связная группа, то существует не более одного гомоморфизма
группы JIu Y, который является расширением V;
(в) если G односвязна, то существует в точности одно такое расширение Ф.
Доказательство части (а). Для произвольного фиксированного g0 положим
g=g0h, где h принадлежит окрестности U, так что отображение h-> (h)
аналитично. Тогда V (g) = V (g0) V (h), но произведения и обрат-
ные элементы аналитичцы всюду в обеих группах (§ 25.11); поэтому h анали-
тичен в g и образ Ф (g) аналитичен в g.
Доказательство части (б). Любой элемент j из С можно представить в виде
gig2- ¦ -gk> где все множители принадлежат U\ следовательно, если Ф -
любое расширение гомоморфизма V, то 'F^g) = 'F (gi)--.'P (gk) - ^ (gi)---
...4f (gh), т. e. образ У (g) полностью определяется при помощи Ч';
значит, любые два таких расширения должны быть согласованы для каждого g.
Доказательство части (в). Как это иногда делалось и ранее, допустим, что
V-подокрестность окрестности U, содержащая единицу и такая, что если g и
h принадлежат V, то g~1 и h-1 также принадлежат V, a gh и hg содержатся в
U. Будем строить отображение Пусть h и k-элементы группы G, соединенные
гладкой кривой ё ¦ Разобьем кривую ё на малые сегменты при помощи точек
(элементов группы) g0, g1, ..., gt так, что g0 = hn gt = k, а gj1gi+1
всегда содержатся в V. Рассмотрим элемент группы G
g = V (go'gi) V (gT'g*)-- • Ч' (gT-igi)\
если бы гомоморфизм ? был глобальным, то g был бы равен ? {h~lk). Из
определения элемента g видно, что он не изменяется при измельчении
данного разбиения кривой поэтому, так как два любых разбиения при
из-
мельчении стремятся к одному и тому же, g зависит только от li, k и от
кривой ё- Мы покажем сейчас, что g не зависит от кривой ё при заданных h
и k. В самом деле, пусть ё-другая кривая, связывающая h с к, близкая к if
и подвергнутая разбиению точками g0(=g0 = /i), gi(=gi=fe), причем
такими, что gj близка к g,- для каждого I. Рассмотрим элемент
g = V (go'gi) V (ir1g2)...'P (g/Д, gi).
Этот элемент g может быть получен из g путем введения подходящих
множителей и последующей свертки с другими множителями, составляющими g;
например, вводя взаимно сокращающиеся множители
Ч' (g^gi) Ч' (ir'gi) и Чг (g2-1gl) Чг (g-l'g2)
соответственно между первым и вторым множителями, а также между вторым и
третьим множителями в g, мы обнаруживаем, что
v (ir'gi' v (grV2) v (g2"'g2) = v CgT'h)-
Таким образом видно, что g = g, т. е. что g не изменяется при непрерывной
деформации кривой ё, если удерживать фиксированными концевые точки
182
Гл. 25. Группы Ли
h и к. Наконец, в случае односвязной группы G две любые кривые,
связывающие h с k, гомотопны; следовательно, g зависит только от h и k,
так что можно записать g = g(h, k). Кроме того,
g(gh,gk)=g (h, k) для любого g?G,
поскольку это верно для каждого из множителей У (gT1g,-+i)- Отсюда
следует, что отображение ? группы G в G, задаваемое посредством У (g) =g
(1, g), является искомым расширением локального гомоморфизма Ч', так как
при сложении кривых в G получается, что
У feiga) =8 О. gi) g(gi, gigi) = g (1. gi) gO . g2)-
25.14. ТЕОРЕМА О ГОМОМОРФИЗМАХ ДЛЯ ГРУПП ЛИ
Теорема о гомоморфизмах для групп Ли отличается от соответствующей
теоремы для абстрактных групп дополнительными топологическими аспектами.
Подгруппа группы Ли G называется замкнутой, если ее элементы образуют
замкнутое точечное множество в многообразии группы G.
Теорема 1. Ядро гомоморфизма ? группы Ли G на группу G, т.е. множество
<J" = {g€G: Tf(gr)=l (единица группы G)}, является замкнутой нормальной
подгруппой G.
Согласно элементарной теории групп, ядро гомоморфизма представляет собой
нормальную подгруппу, которая замкнута в силу непрерывности отображения
ЧЕ если {g,} - последовательность элементов в G0, сходящаяся к Л, то Т
(gi) сходятся к Y (h), но Для каждого t, откуда Y (h) = 1, и, значит, h
принадлежит G0.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed