Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
образуют базис в X2/+1; fm есть собственная функция оператора L3,
соответствующая собственному значению im. Заметим, что в качестве
значений т допускаются целые числа и половины нечетных целых чисел в
зависимости от того, является I целым или полуцелым. Любая функция g из
Х2/+1 может быть выражена в виде cjm. С помощью рассуждений, подобных
прове-
т
денным в § 20.5, устанавливается, что если инвариантное подпространство в
Хг1+Х содержит такую функцию g, то оно содержит в отдельности и все
одночлены при которых стФ 0. В самом деле, если данное подпространство
включает функцию g, то оно включает и функцию L3g (потому что это
подпространство инвариантно относительно La), а также функцию Р (Ls) g,
где Р-любой многочлен, но Р можно выбрать так, чтобы исключить из суммы
2сл,/л, все члены, кроме одного (в качестве Р
т
можно взять интерполяционный многочлен Лагранжа, который обращается в
нуль для всех собственных значений im оператора L3, кроме одного). Таким
образом, инвариантное подпространство содержит хотя бы одну из функций
fm. Но Ц+iL^ есть оператор опускания, т. е. он преобразует fm в функцию,
кратную /m_lt за исключением которая преобразуется в нуль; оператор Lt-
iL2 есть оператор поднятия, т. е. он преобразует fm в функцию,
22.9. Характеры представлений группы SU(2)
107
кратную /я+х, за исключением /г, которая преобразуется в нуль.
Следовательно, инвариантное подпространство совпадает со всем Х2г+\ что и
требовалось доказать
В следующем параграфе будет показано, что D'(l = 0, V2> 1" 3/2, •••)
являются единственными неприводимыми представлениями группы SU (2).
Двузначные представления группы 50 (3) возникают следующим образом. Если
и С SU (2), то посредством гомоморфизма SU (2) на 50(3) (см. § 19.7) оба
элемента и и -и отображаются на элемент g группы 50(3). Если D1-одно из
найденных выше представлений группы 50(2), то отображение g->-Ог(±и)есть
однозначное представление 50(3) на Х2/+1 в случае, когда Dl(-u) = Dl(u),
и является двузначным представлением, когда D1 (-u)=^=Dl(u). Необходимо
лишь исследовать случай, когда " =/2; тогда Dl (и) = 121+1. (Здесь под lh
понимается единичная матрица размера kxk.) При отображении, определяемом
матрицей -/2, координаты xt и х2 переходят в -хх и -х2, если 21 четно,
одночлен fm переходит сам в себя; отсюда Dl(-/2) = /2/+1 и отображение g-
*Dl(±u) является обычным представлением нечетной размерности 2/-{-1,
которое описано в § 20.9. Если же 21 нечетно, то fm переходит в - fm\
отсюда Dl(-/2)=-/2/+х и отображение g-> D1 (± и) = ± D1 (и) становится
двузначным, или спиновым, представлением четной размерности.
Аналогичным образом указанные выше неприводимые представления группы
5L(2, С) [из которых путем сужения получаются неприводимые представления
50(2)] приводят к конечномерным обычным и спиновым представлениям группы
Лоренца Зр. Однако в этом случае имеются еще и другие неприводимые
конечномерные представления группы SL (2, С), которые будут описаны в §
22.11; они также определяют обычные и спиновые представления группы 3р,
причем ни одно из них не является унитарным.
22.9. ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ SU (2)
Классы сопряженности группы SU (2) легко определить. Прежде всего,
матрицы их и и2 в SU (2) имеют одинаковые собственные значения тогда и
только тогда, когда существует такая унитарная матрица и [элемент
5?/(2)1, что и*иги=и2. Поскольку и можно умножить на любое комплексное
число с модулем, равным 1, то мы можем без потери общности считать, что
det и=1, и, значит, и принадлежит SU (2). Отсюда следует, что их и и2
входят в один класс сопряженности группы SU (2) тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковые собственные значения. Поэтому каждый класс
сопряженности можно представить матрицей вида
fe-iaii о \
и = \ 0 eirx!2)
108
Гл. 22. Представления групп и квантовая механика
для некоторого ag[0, 2л]. Для такого и оператор D1 (и) просто умножает
базисный вектор (22.8.1) на eima\ следовательно, D1 (и) - диагональная
матрица, следом которой является
X'(a) = sin [(/+ l/2)a]/sin(a/2), (22.9.1)
точно так же, как и в случае целого I, согласно упражнению 3 в конце §
21.13. В том параграфе было показано, что функции
(22.9.1) при 1 - 0, V2, 1, 3/2> ••• образуют полную систему для
разложения функций, зависящих только от классов сопряженности, на
многообразии группы SU (2); следовательно, представления D1 исчерпывают
неприводимые представления группы SU (2).
22.10. ФУНКЦИИ ОТ г И г
Введенные в этом параграфе обозначения удобны при рассмотрении
представлений группы SL(2, С) и используются во многих разделах
математики. Пусть и(х, у) и v(x, у) - две вещественные функции класса С"
от двух вещественных переменных хну. Мы запишем z=x-sriy, f(z)=u(x,
y)+iv(x, у), так что /(г) есть комплекснозначная функция комилексной
переменной г, вообще говоря неаналитическая. В случае когда /(г) -
аналитическая функция, ее производная может быть записана в различных
