Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
определена сумма /y+rj. Если опустить требование нормировки, то каждый
луч будет представлять собой одномерное подпространство в Н. С такой
точки зрения единственно разумными определениями будут следующие: считать
сг тем же лучом, что и г, даже в случае сф\, a rj+r2 считать двумерным
подпространством в Н и поэтому уже не элементом множества S. Однако
каждый элемент множества S соответствует некоторому состоянию данной
физической системы, и это соответствие взаимнооднозначно. Наиболее
естественно принять, что S - топологическое (фактически метрическое)
пространство. Если гх и гг- два луча, то расстояние между ними можно
определить как
d(r" r2)=inf {Ki-'Ф,Ц: 4>,€г" ||ф, | = |Ч'2| = U-
Физические свойства двух соответствующих состояний (описываемых при
помощи математических ожиданий наблюдаемых) близки, когда расстояние
между лучами d(rlt гг) мало.
Каждое вращение в пространстве (каждое изменение ориентации установки)
индуцирует преобразование в S, как описано выше. Оно не является линейным
преобразованием, поскольку S не представляет собой линейное пространство,
но оно непрерывно по отношению к метрике в S. Отображение элементов
группы S0(3) на
100
Гл. 22. Представления групп и квантовая механика
соответствующие преобразования в пространстве 5 есть изоморфизм: оно
взаимно однозначно, и произведение двух любых элементов из 50(3)
отображается на композицию (произведение) соответствующих преобразований
в 5 и т. д. Каждое такое преобразование в 5 соответствует классу
эквивалентности унитарных преобразований в пространстве Н. В общем случае
гомоморфизм группы G на группу классов эквивалентности унитарных
преобразований в векторном пространстве V называется лучевым
представлением группы G на V. Как и выше, два унитарных преобразования U,
и U2 в V являются эквивалентными, если (У,=(Ш2, где р - некоторая
константа.
С физической точки зрения лучевые представления группы 50(3) на Н
являются вполне подходящими выражениями сферической симметрии. Но для
вычислительных целей хотелось бы описывать преобразования в пространстве
5 при помощи более осязаемых объектов, подобных матрицам. Следовательно,
возникает задача отбора некоторым подходящим образом одного унитарного
преобразования U (g) из каждого класса эквивалентности.
Если бы фазы преобразований U (g) можно было выбрать так, чтобы множитель
y(h,g) в (22.2.1) был равен единице для всех h и g, то отображение g-+U
\g) было бы обычным представлением группы 50(3) на Н. Но, вообще говоря,
этого сделать нельзя; сейчас мы выясним, что же можно сделать, но прежде
всего ограничим задачу конечномерным случаем.
22.4. КОНЕЧНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Предположим, что физическая система обладает сферической симметрией и что
существует дискретное энергетическое состояние конечной кратности п с
энергией Е. В этом случае соответствующее собственное подпространство
оператора энергии является инвариантным подпространством НЕ пространства
Н. Тогда лучи в НЕ преобразуются при вращениях в другие лучи из НЕ\
следовательно, НЕ инвариантно относительно каждого из операторов U (g) и
сужение оператора U (g) на НЕ может быть представлено для каждого g
унитарной матрицей размера пхп, которую мы также будем обозначать просто
через U (g). Начиная с этого места наше обсуждение будет ограничиваться
конечномерным случаем.
22.5. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Теперь примем вполне оправданное с физической точки зрения допущение,
состоящее в том, что фазы унитарных преобразований можно выбрать во
всяком случае так, что матричные элементы Uu{g) будут непрерывными
функциями от g. Далее пусть 0Х,
22.6. Происхождение двузначных представлений
101
0и, 0,-внутренние координаты в SO(3), определенные в § 19.6, а Ж и оДГ0 -
множества элементов группы, для которых ||0||<л и |i 01 < я/2
соответственно. Хотя многообразие группы в целом двусвязно, области Ж и
Ж" представляют собой односвязные окрестности единичного элемента. Если g
и h принадлежат оЛГ0, то gh принадлежит Ж- Пусть теперь g, h и gh-матрицы
вращения; тогда матричные элементы gh являются непрерывными функциями
матричных элементов g и h\ следовательно, когда g и h непрерывно меняются
в ol\P(), то gh непрерывно меняется в Ж.
Теперь будет показано, что фазы описанных выше унитарных матриц U (g)
можно выбрать в окрестности Ж так, что функция y(g, h) в (22.2.1) равна 1
для всех g и Л, принадлежащих Ж0-Когда это выполнено, отображение g-*U(g)
называется локальным представлением группы SO (3) (см. гл. 25). Поскольку
U (g) непрерывна в Ж, то в силу односвязности Ж многозначная функция (det
U (g))1,n расщепляется на п независимых непрерывных ветвей в Ж- Очевидно,
U (е) кратна единичной матрице /, и можно записать U(e) = $nI, где |р| =
1. Тогда (det U (е))1,п есть корень п-й степени из единицы, умноженный на
р, и функцию a (g) можно определить как ту ветвь (det U (g))x!n, которая
равна (3 для g - e. Теперь мы утверждаем, что если в Ж определить новые
