Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом. В качестве примера
возьмем отображение описанной выше группы {/, А, В, С}:
/ - /, А-+С, В-+В, С А.
Автоморфизмом группы SO (2) является отображение cos 0 -sin0\ / cos0
sin0N
vsin0 cos 0/ \ - sin0 cos0,
Любое отображение ф (не обязательно взаимно однозначное или на всю
группу) группы G в группу G', такое, что справедливо
(18.3.1), называется гомоморфизмом. Если G есть группа GL(n, С) всех
невырожденных комплексных матриц размера пХп с умножением в качестве
групповой операции, то отображение A-*-det А является гомоморфизмом
группы G на группу всех ненулевых комплексных чисел относительно
умножения. Для второго примера возьмем в качестве G группу М2 всех
движений в плоскости, т. е. группу всех преобразований вида
( х-<-*'=*cos0-usin0-fa,
П, а,ь: < , • п . д | и, (18.3.2)
(У-I-у =* Sin 0-1-1/cos 0+6,
18.4. Группы перестановок
13
где О=^0-<2л, а а и b - произвольные вещественные числа. Тогда
отображение
является гомоморфизмом G на 50(2), что можно увидеть, осуществляя
последовательно два преобразования вида (18.3.2). Поскольку 50(2)
представляет собой подгруппу группы G (при а=Ь- 0), отображение (18.3.3)
можно рассматривать как гомоморфизм группы G в себя.
18.4. ГРУППЫ ПЕРЕСТАНОВОК1)
Перестановкой называется взаимно однозначное отображение множества С
(обычно конечного) объектов или символов на себя. Например, если С
состоит из первых семи цифр, С={1, 2, . . ., 7}, то частной перестановкой
является отображение л : /-"-л(/), где функция л (/) задается следующим
образом:
здесь имеется в виду, что каждый символ верхней строки отображается в
символ, стоящий под ним. Циклической перестановкой или циклом называется
перестановка, которая может быть полу-
чена путем размещения символов на окружности и отображения каждого
символа на следующий при перемещении по окружности (скажем, по часовой
стрелке), как показано на рис. 18.1; этот цикл записывается еще короче, а
именно как (abcde), что является, разумеется, тем же самым, что и (Ь с d
е а) и т. д. Любая перестановка множества С может быть выражена через
циклические
(18.3.3)
л(1) = 7, л(2) = 3, л(3)=1, л(4) = 4,
л (5) = 6, л (6) = 5, л (7) = 2.
Эту перестановку можно записать короче:
(18.4.1)
Рис. 18.1. Циклическая перестановка.
1 Иногда перестановки называют подстановками,- Прим. перев,
14
Гл. 18. Элементарная теория групп
перестановки различных подмножеств множества С; например, перестановку л,
заданную при помощи (18.4.1), можно записать в виде
я = (1723) (4) (56). (18.4.2)
Длиной цикла является число символов в нем. Циклы длины 1 [например, (4)1
обычно опускаются, поскольку они представляют собой тождественное
отображение, в котором ничего не переставляется. Цикл длины 2 является
транспозицией, при которой меняются местами два символа, а остальные
остаются на месте.
Любая перестановка может быть разложена в произведение последовательных
транспозиций. Например, если
Л1 = (17), я2 = (72), л3 = (23), я4 = (56),
то перестановку (18.4.2) можно записать в виде
n = nt оп,оя,оя, = (17) (72) (23) (56), (18.4.3)
причем здесь подразумевается, что транспозиции следует выполнять справа
налево. Разложение данной перестановки в произведение транспозиций не
является однозначным, но сейчас мы докажем, что для данной перестановки
число транспозиций или всегда четно, или всегда нечетно.
В самом деле, пусть /(. . .) - функция п вещественных или комплексных
переменных, определенная следующим образом:
f(x 1, ..., х")= П (xk-Xj), (18.4.4)
I </'<*< п
и пусть л: /->-л ¦(/) - перестановка целых чисел 1, 2, ..., п\ обозначим
/л(*1, .... *")= П (xn{k)-хЯ(л). (18.4.5)
1 < / < А < л
Если xh-Xj- любой из множителей в (18.4.4), то или xk-xs, или Xj-хк
появится в точности один раз в качестве одного из множителей в (18.4.5),
так что или /"=/, или fn=-/; соответственно этим случаям л называется
четной или нечетной перестановкой. Это свойство называется четностью
перестановки л. Если две перестановки имеют одинаковую четность (т. е.
они обе четны или обе нечетны), то их произведение четно; если они имеют
различные четности, то их произведение нечетно. Ясно, что транспозиция
(12) нечетна, ибо тогда все множители в (18.4.5) имеют тот же знак, что и
в (18.4.4), кроме множителя х2-хг. Далее, видно, что транспозиция
(1()=(2() (12) (21) обязательно нечетна и, наконец, что общая
транспозиция (jk)-(\j)(lk)(lj) всегда нечетна. Следовательно, в любом
разложении четной (нечетной) перестановки в произведение транспозиций
число множителей всегда четно (всегда нечетно).
18.5. Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы
15
Существует столько же нечетных, сколько четных перестановок данного
множества С, так как если я*- любая фиксированная нечетная перестановка,
то отображение четных перестановок
на нечетные является взаимно однозначным.
Ясно, что множество всех перестановок п символов (включая, конечно,
тождественную перестановку, в которой каждый символ отображается на себя)
