Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 39

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 162 >> Следующая

дают представления группы SU (2), а не группы вращений SO(3). Это было
показано уже Дираком (в несколько иной терминологии) в его статье о
релятивистском волновом уравнении (Дирак [1928]), а также подразумевалось
в теории Паули об электронном спине, опубликованной годом ранее. В общем
случае компоненты спинора при преобразовании группы Лоренца Зр изменяются
таким образом, что дают представления группы SL(2, С), а не группы 3?р.
Тогда это казалось несколько неожиданным, хотя Дирак показал, что все
наблюдаемые величины преобразуются как скаляры, векторы и тензоры, т. е.
согласно представлениям групп SO (3) и 3р. В § 19.7 и 19.8 мы видели, что
гомоморфизмы групп SU (2) и SL (2, С) на группы SO(3) и Зр соответственно
являются (2->1)-гомоморфизмами; следовательно, представление первой
группы может ставить в соответствие две различные матрицы М и -М. каждому
элементу g второй группы, т. е. каждому из преобразований пространства-
времени. Это соответствие иногда называют двузначным представлением
второй группы. В на-
98
Гл. 22. Представления групп и квантовая механика
стоящей главе рассматривается, как возникают такие представления. Будет
показано, что роль групп SU (2) и SL (2, С) заключается в том, чтобы
определить так называемые лучевые представления более подходящих с
физической точки зрения групп SO(3) и 3?р.
Каждому возможному состоянию квантовомеханической системы соответствует
не один вектор ф в гильбертовом пространстве Н, а целый луч {аф},
состоящий из всех векторов, скалярно кратных вектору ф. Если все векторы
нормированы (||ф||=1, ||аф||=1), то а имеет единичный модуль (|а|=1), но
его аргумент, или фаза (arg а) произволен. Этот произвол, как будет
видно, влияет на интерпретацию теории представлений.
22.2. ВРАЩЕНИЯ ОСЕЙ
Можно считать, что состояние некоторой системы в принципе онре-деляется
одновременно измеренными значениями {а, Ь, . . .} полной системы
коммутирующих наблюдаемых (самосопряженных операторов) {А, В, . . .}.
Следовательно, совокупность чисел {а, Ь, . . .} определяет луч {аф} в
гильбертовом пространстве Н. Эти наблюдаемые по существу соответствуют
некоторой экспериментальной установке или прибору, которые предназначены
для их измерения. Допустим, что вся эта установка переводится в новую
ориентацию вращением около некоторой фиксированной точки р, а именно
вращением g [элементом группы SO(3)]. Это обстоятельство определяет новую
систему аналогичных наблюдаемых {А', В', . . .}. Теперь данное состояние
изучаемой системы соответствует новой совокупности чисел (а', V, . . .},
которая порождает новый луч (аф'} в пространстве Н. Иначе говоря, под
действием вращения g каждый луч {аф} отображается в другой луч (аф'}. Эти
отображения дают лучевое представление группы, которое будет рассмотрено
в следующем параграфе.
Предположим, что на каждом луче в Н как-то выбран нормированный вектор ф.
Тогда вращение g определяет взаимно однозначное отображение между так
выбранными векторами в Н. Мы допускаем также как некую аксиому квантовой
механики, что эти векторы ф можно выбрать так, чтобы данное отображение
было линейным и, следовательно, могло бы быть определено во всем .Н
благодаря линейности. Поскольку все представляющие векторы ф были
нормированы, данное отображение представляет собой унитарное
преобразование U или U (g). Однако это преобразование для данного g не
является единственным из-за произвольности фаз представляющих векторов ф.
Эта степень неоднозначности преобразования U описывается следующей
леммой, доказательство которой мы оставляем в качестве упражнения.
Лемма. Пусть Lh и U 2- два унитарных преобразования в Н, таких, что для
любого ф два преобразованных вектора Б\ф и U2ф
22.3. Лучевые представления
99
определяют один и тот же луч. Иначе говоря, существует комплекснозначная
функция Р(ф), такая, что ^7^=^ (ф)?/гф для всех ф. Тогда $ M))=const=f},
причем |р|=1, т. е. Ui = $U2.
Унитарные преобразования U и $U, где 0 - константа и 1Р1=1, называются
эквивалентными: UsifiU. Мы видели, что каждое вращение g соответствует
классу эквивалентности {$U: |f}|=l} унитарных преобразований, имеющих
различные фазы arg р.
Предположим теперь, что для каждого элемента g группы S0(3) каким-то
образом выбрано единственное унитарное преобразование U (g) из
соответствующего класса эквивалентности. Если г|/ = = t/(g)4, аг|/=и
(Л)г|/, то результирующая матрица преобразования для отображения т. е.
U (h) U (g), не обязательно равна
U (hg), но эквивалентна (s) этой матрице. Следовательно, для любой пары
вращений h, g существует такой фазовый множитель у (h, g), что
U (h) U (g) = y(h, g) U (h, g), (22.2.1)
где \y(h, g)! = l. Позже мы рассмотрим возможности выбора функции у (h,
g).
22.3. ЛУЧЕВЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Множество S всех лучей называется лучевым пространством. Это не
обязательно линейное пространство, потому что если г - луч и с - число,
то сг, вообще говоря, не определено, а если - два луча, то может быть не
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed