Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
определяют одно и то же подпространство; следовательно, в качестве
значений а разумно взять е(r), где 0^р<л. Для каждого такого а
представление группы Мъ на Ха задается преобразованиями (21.9.1).
92
Гл. 21. Представления групп 11
21.11. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Нормируем систему функций положив ф"(0, 0) = 1. Тогда
для каждого т функция Бесселя порядка т может быть определена как J m(z)-
gm(z/a), так что (21.10.1) принимает вид
ФЖ y) = i-me'^Jm(ar).
Тогда (21.10.2) переходят в уравнения
(d/dz-m/z) Jm(z) = - JOT+1 (z), .. .
(d/dz + (m+ \)/z) Jm+l (z) - Jm (z),
которые являются рекуррентными соотношениями для функций Бесселя.
Исключение Jm+l (г) дает
(dVdz2 + (1/2) d/dz + 1 - m2/z2) J т. (z) = 0, (21.11.2)
а это есть дифференциальное уравнение Бесселя.
Функции Бесселя Jт (г) полностью определяются этим уравнением и
начальными условиями У0(0)=1 иУот(0) = 0для тф 0. Для дальнейшего
предполагается знакомство с этими функциями и, в частности, с их
интегральным представлением
Л
Jm (г) = _L j eit!ln t+Ш dt' (21.11.3)
-Л
21.12. МАТРИЦЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Для некоторых целей бывает предпочтительней иметь преобразования,
представленные (бесконечными) матрицами; матричные элементы можно
получить следующим образом. Пусть а-вектор, компонентами (вообще говоря,
комплексными) которого являются acosx и asinx. где параметр а такой
же, как в § 21.10, а % -
вещественный угол. Тогда приведенное волновое уравнение
V2" + a2"="0 имеет решение
giar cos (ф -X) (21.12.1)
(как и прежде, ;e = /-cos<p, у -гsin<p), а общее решение есть
Л
f(r, <р)= J eb'"*v-*>f(i)dx, (21.12.2)
-Л
где /-произвольная функция из некоторого класса допустимых функций,
точные свойства которых здесь неважны. [Если а вещественно и если/ (г, ф)
интерпретировать как волновую функцию, Toacosx и asinxcyTb импульсные
переменные, а / (%) тесно связана с импульсным представлением функции/
(г, <р).] Если плоскую волну ехр{/ссх} подвергнуть преобразованию
(21.9.1), то она переходит
21.12. Матрицы представлений
93
в ехр(га-(х-|)0}, где индекс 0 указывает на то, что векторы х и |
повернуты (против часовой стрелки) на угол 0. Если компоненты смещения
записать в виде | = ^cosco, r] = ^sinco, то из
(21.9.1) будет следовать, что
Л
(Р Ф) ^ cos /' (х)
- Л
где
/' (Х) = е-**С со, (Ш -X)} (х + 0) (21.12.3)
(штрих не связан с дифференцированием); в интеграле проведена замена
переменной %-0->¦% без изменения пределов, поскольку подынтегральная
функция имеет период 2л. Следовательно, элемент g группы М2, состоящий из
вращения на 0 по часовой стрелке, за которым следует трансляция на вектор
|, индуцирует преобразование (21.12.3) в пространстве функций f, имеющих
период 2л. Теперь, разлагая /(х) и /' (х) в ряды Фурье Лс/'4
т
и 2 с'теш% соответственно, мы найдем, что
т
со
ст - 2 РтпСп'
/ZS - СО
где
л
ртп =р"" (g)-elm8gl (т-п) (ш-л/2) _L j eiaZ ,In t + I dt =
- Л
~eim8ei (m-n) (ш-л/2) J(ag (21.12.4)
и где было использовано (21.11.3). Видно, что функции Бесселя появляются
не только при определении инвариантных подпространств пространства Х°°,
но и в зависимости матричных элементов ртп от параметров |, т], 0 или ?,
со, 0, характеризующих элементы группы Ма.
Аналогичным образом можно получить неприводимые представления группы М3
движений в евклидовом пространстве Е3, принимая Е3 в качестве однородного
пространства. Обозначим через Ха пространство всех функций и(х, у, г),
которые удовлетворяют трехмерному приведенному волновому уравнению V2u +
a2u = 0 с фиксированной постоянной а во всем пространстве Е3. Тогда
представление группы М3 на Ха, задаваемое при помощи соответствия каждому
g из М3 преобразования
p(g): u(x)->u(g~lx) (21.12.5)
пространства Ха на себя, является неприводимым. Рассматривая
инфинитезимальные операторы этого представления, можно найти
94
Гл. 21. Представления групп II
в Ха базис, состоящий из функций
Y? (в, <p)r-'/*Ji+1/t(ar), 1 = 0,1,2 щ /,-/+ 1__________________/.
(21.12.6)
Поэтому происхождение так называемых сферических функций Бесселя
//(г) = К я/(2z)Ji + 1/2 (г) (21.12.7)
связано с неприводимыми представлениями группы М3.
Представления группы Мп рассматриваются в книге Виленкина [19651.
В противоположность неприводимым представлениям компактных групп, которые
являются конечномерными и зависят от дискретного параметра [например,
/=0, 1, 2, . . . для 50(3)1, неприводимые представления групп движений
бесконечномерны и зависят от непрерывного параметра а.
Неприводимые представления групп Лоренца бывают двух видов:
конечномерные, которые зависят от дискретного параметра, и
бесконечномерные, которые зависят от непрерывного параметра. Первые
получаются из конечномерных представлений группы SL(2, С) (см. следующую
главу) и появляются в релятивистской квантовой механике многих частиц. И
те и другие представления нужны для полной совокупности неприводимых
представлений; поэтому следует ожидать, что бесконечномерные
представления могут также играть определенную роль в физике.
