Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
большинстве случаев можно выбрать унитарное представление, т. е.
представление, в котором каждое преобразование р (g) есть унитарная
матрица или унитарный оператор для всех g ? G; благодаря теореме,
сформулированной в следующем параграфе, такое представление дает
известные преимущества.
Следует заметить, что вопрос об эквивалентности двух представлений р и р'
не сводится лишь к вопросу об изоморфизме двух групп матриц {p(g)} и
{р'(&)}: эти матрицы должны быть одинакового размера в двух
представлениях, а представления должны быть связаны так, что р (g) = Л-1
р' (g) А для всех g и для некоторой фиксированной матрицы А. Все
представления р1 (1 - 0, 1, 2, ...) группы 50(3), найденные нами в §
20.3, неэквивалентны (они имеют различные размерности), но все полученные
группы матриц {рг (g)} изоморфны при 1Ф 0: фактически все они изоморфны
группе 50 (3). Следующий пример показывает, что два представления могут
иметь одинаковую размерность, но быть неэквивалентными. Пусть G-группа
тора Т2, состоящая из диагональных унитарных матриц размера 2x2, т. е.
матриц вида
*=(ор)> 1а1 = 1> lpl = 1*
Два представления на С, заданные в виде
p(g)\ z-+az, р' (g): г -"-р2, не являются эквивалентными; никаким
преобразованием плоскости г нельзя для всех g перевести р(g) в р'(g). Для
g=(" _°) р (g) есть тождественное преобразование, тогда как р' (g) не
является таковым.
21.2. ПРИВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Следующий шаг классификации состоит в разложении данного представления на
столько неприводимых компонент, на сколько это возможно. Если р-
представление на конечномерном пространстве X и если подпространство Хх
инвариантно относительно
21.2. Приведение представлений
79
всех p(g), т. е. если из того, что следует, 4Top(g)xgXj-
для всех g, то представление р называется приводимым, как и в предыдущей
главе (в противном случае р называется неприводимым). Пусть найдется
другое инвариантное подпространство Х2, причем такое, что Х = Х1(r)Х2 (это
выражение означает, что Xj и Х2 не имеют никаких общих векторов, кроме
нулевого, и любой х G X можно записать в виде хх -f х2, где xf a х2 g
Х2). В таком случае представление р называется вполне приводимым или
разложимым. Тогда если е1, ..., еп является базисом в X, таким, что е1,
.. ., ет - базис в Х1, a em+1, .. ., еп-базис в Х2, то относительно этого
базиса все матрицы p(g) имеют вид1)
р(в) =
(0)
(0)
(21.2.1)
т. е. матричные элементы, которые связывают два данных подпространства,
равны нулю. (Если р приводимо, но не разложимо, то можно выбрать базис, в
котором все матричные элементы равны нулю в левом нижнем прямоугольном
блоке, но при этом найдутся отличные от нуля элементы в верхнем правом
блоке.) Если для любого g pi (g) и p2(g) соответственно обозначают
приведенные выше матрицы размера mxm и (п-т)х(п-т), то каждое из
отображений g->-pi(g) и g-*-Pz(g) является представлением группы G, а
представление р есть их прямая сумма; символически это обозначается как
p=pi-)-p2.
Когда X - бесконечномерное банахово или гильбертово пространство, Xj
рассматривается как замкнутое линейное многообразие в X; при этом нет
никакой потери общности, ибо все операторы p(g) ограниченны, а потому
замыкание инвариантного линейного многообразия инвариантно. И снова, если
Х=Хх(r) Х2, a Xi и X, инвариантны относительно всех p(g), мы полагаем, что
P = Pi +Рг>
где pi и р2 суть сужения представления р на Xi и Х2 соответственно. (Одно
из pi, р2 может быть конечномерным.)
Может оказаться, что Хх или Х2 в свою очередь содержат инвариантные
подпространства, так что рх и р2 (или оба их) можно снова разложить, и т.
д. В таком случае в подходящем базисе в X
х) Такие матрицы часто называют клеточными.- Прим. перев.
80
Гл. 21. Представления групп II
матрицы р (g) содержат некоторое количество квадратных блоков,
симметрично расположенных вдоль главной диагонали, причем все элементы
вне этих блоков равны нулю. Каждый квадратный блок дает некоторое
представление группы G, а р есть прямая сумма этих представлений. Если
этот процесс продолжать осуществлять дальше, может оказаться, что все
полученные представления, на которые разложено р, неприводимы. Тогда
говорят, что р полностью приводимо. В этом случае можно найти структуру
всех представлений группы G, определяя все минимальные инвариантные
подпространства первоначально достаточно большого пространства X, как это
было сделано для групп 50(2) и 50(3) в предыдущей главе.
Теорема. Любое конечномерное унитарное представление группы G полностью
приводимо, т. е. или оно уже неприводимо, или может быть выражено в виде
прямой суммы неприводимых представлений.
Доказательство. Этот результат является следствием того факта, что если р
унитарно, a инвариантно, то, как легко видеть, подпространство Х^- также
инвариантно.
21.3. ЛЕММА ШУРА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Доказательство теоремы, приведенной в этом параграфе, зависит от
знаменитой леммы, которую доказал Шур в 1905 г. и которая кажется
