Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Существование единицы. В G содержится единственный элемент е, такой, что
аое - еоа - а для любого а из G.
Существование обратного элемента: Если а-произвольный элемент G, то
существует единственный элемент а-1, такой, что а о а~1 = а~1 о а = е;
кроме того, (а о Ь)~* -Ь~х ь а-1.
Расширенный закон ассоциативности: (а о ф о (с о d))) о е = - aobocodoe и
т.п. В дальнейшем необязательные скобки будут опускаться. Кроме того,
(а о Ь о ... ояо г/)-1 = г/-1 о х~1 о ... о о а~1.
Если а принадлежит G и т-любое целое число, то степень ат определяется
следующим образом:
а° = е, а1 = а, а2=аоа, ..., ап+1 - ап о а, а~т - (а~1)т.
Очевидно, что эти степени перестановочны (коммутируют) и ап о ат - ап+т.
Вообще, если а о Ь - Ь о а, то говорят, что элементы а и b из G
коммутируют. Если любые пары элементов из G коммутируют, то G называется
коммутативной или абелевой группой. Если все элементы ап (п - 0, ±1, ±2,
...) являются различными элементами группы, то а называется элементом
бесконечного порядка; в противном случае, как легко видеть, существует
порядок элемента а-наименьшее положительное целое число /, такое, что а1
- е\ при этом ат - е тогда и только тогда, когда I является делителем т,
и любая степень элемента а равна одному из элементов \е, а, а2, ...,
аг_1}.
Подгруппой группы G называется подмножество G' элементов группы G, если
оно само является группой относительно операции, определенной в группе G.
Вращения вокруг оси г составляют подгруппу группы вращений в трехмерном
пространстве. Различные степени элемента а составляют подгруппу,
называемую подгруппой, порожденной элементом а; такая подгруппа является
циклической группой конечного или бесконечного порядка. Порядок группы
есть число элементов в ней (конечное или бесконечное). Если G' является
подгруппой G, мы пишем G'<G. В любом случае G<G и {e}<G. Если G'^G, то
G'- собственная подгруппа; если С/ = {е}, то G' - тривиальная подгруппа.
18.3. Изоморфизм
И
Вопросы и упражнения
1. Что является обратным элементом для в SO (2)1 Что является единичным
элементом?
2. Покажите, что SO (2) - коммутативная группа, a SO (3) не является
таковой.
3. Покажите, что группа вращений, которая оставляет куб инвариантным,
имеет порядок 24, как было указано в § 18.1.
4. Опишите группу вращений, оставляющую инвариантным прямой круговой
цилиндр; сделайте то же самое для икосаэдра.
5. Выведите из аксиом группы три закона, приведенные в начале данного
параграфа.
6. Определите, какие из перечисленных множеств являются группами.
(а) Множество всех ненулевых комплексных чисел, если групповой операцией
является умножение.
(б) Множество всех невырожденных матриц размера п х п при умножении.
(в) Множество всех положительных рациональных чисел при умножении.
(г) Множество всех положительных иррациональных чисел при умножении.
(д) Множество всех положительных алгебраических чисел при умножении.
(е) Множество всех матриц размера п X п при сложении.
(ж) Множество всех матриц размера п X п и вида е'А при умножении.
(з) Множество целых чисел 1, 2, ..., р - 1 при умножении по модулю р (р
простое).
(и) Множество целых чисел 1,2, ..., т - 1 при умножении по модулю т (т
составное).
(к) Множество всех векторов в Е3 при векторном сложении.
(л) Множество всех ненулевых векторов в Е3 при векторном умножении.
(м) Множество всех комплексных чисел г, таких, что |г| = 1, при
умножении.
(и) Множество всех унитарных матриц размера п X п при сложении.
(о) Множество всех унитарных матриц размера п X п при умножении.
(п) Множество всех преобразований Мёбиуса
г-*- г'- (аг-\-Ь)1(сг-\-й) (ad-be Ф 0) в комплексной плоскости.
18.3. ИЗОМОРФИЗМ
Если существует взаимно однозначное отображение ф группы G на группу G',
такое, что
ср (а о Ь) = ср (а) о ф (Ь) (18.3.1)
для всех а и b из G, то ф представляет собой изоморфизм, а группы
являются изоморфными; символически G^G'. [В (18.3.1) первый кружок
обозначает групповую операцию в G, а второй--в G'.] Говорят, что
произведения отображаются на произведения. В этом случае G и G' можно
рассматривать лишь как две различные реализации одной и той же
абстрактной группы.
12
Гл. 18. Элементарная теория групп
Например, если G - множество чисел {1, г, -1, -г} с умножением в качестве
групповой операции, a G'- множество матриц {/, А, В, С} с матричным
умножением в качестве групповой операции, причем
/-(!!)• Ч-?!)-
то отображение
ф: 1-*-/, i-*-/4, -1-<- В, -i-*C
является изоморфизмом G на G'; нетрудно проверить справедливость
(18.3.1) для каждой из 16 возможных пар (а, Ь) элементов из G.
Например, (-1)=(-1) (г); следовательно, должно быть ф(-г)= =ф(-1) ф(г),
т. е. С=ВА, как и в действительности. Следует заметить, что отображение
1-*-/, г-" С, -1-*• В, -г->¦ А
является другим изоморфизмом G на G'.
Если G - группа всех комплексных чисел г, таких, что |z| = l, с
умножением в качестве групповой операции, то отображение
/'cos0 -sin0N
(р' " ' \sin0 cos0
является изоморфизмом G на двумерную группу вращений SO(2).
